Seja (V,+, cdot) um espaço vetorial sobre R. Responder verdadeiro (v) ou falso (f), justificando suas respostas:
Se S=v1, v2, v3 é um conjunto de vetores LD de V e v4 é um vetor qualquer em V, então v1, v2, v3, v4 é LD;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V sobre os números reais R. O conjunto S = v1, v2, v3 é um conjunto de vetores que é Linearmente Dependente (LD). Queremos saber se, ao adicionar mais um vetor v4 a esse conjunto, o novo conjunto v1, v2, v3, v4 também será Linearmente Dependente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser Linearmente Dependente.

Passo 2

Um conjunto de vetores é Linearmente Dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos simples, isso significa que há uma relação de dependência entre os vetores, ou seja, pelo menos um vetor “não é necessário” porque ele pode ser formado a partir dos outros.

Passo 3

Sabemos que S = v1, v2, v3 é Linearmente Dependente. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, ou seja:
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
onde pelo menos um dos coeficientes a1, a2, a3 é diferente de zero.

Passo 4

Agora, queremos considerar o conjunto aumentado v1, v2, v3, v4. Para verificar se esse conjunto é Linearmente Dependente, precisamos ver se existe uma combinação linear desses quatro vetores que resulte no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero:
b1v1 + b2v2 + b3v3 + b4v4 = 0

Passo 5

Como S já é Linearmente Dependente, sabemos que podemos encontrar coeficientes a1, a2, a3, não todos zero, que satisfazem a equação a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. Podemos simplesmente escolher b4 = 0 e definir b1 = a1, b2 = a2, b3 = a3. Assim, a combinação linear se torna:
a1v1 + a2v2 + a3v3 + 0 cdot v4 = 0
Como pelo menos um dos ai é diferente de zero, essa é uma combinação não trivial, o que prova que o conjunto v1, v2, v3, v4 também é Linearmente Dependente.

Resposta

Verdadeiro. Se S = v1, v2, v3 é Linearmente Dependente, então qualquer conjunto que inclua S mais mais um vetor, como v1, v2, v3, v4, também será Linearmente Dependente.

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