Seja
um espaço vetorial sobre
. Responder verdadeiro (v) ou falso
, justificando suas respostas:
Se
é um conjunto de vetores LD de
e
é um vetor qualquer em
, então
é LD;
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
sobre os números reais
. O conjunto
é um conjunto de vetores que é Linearmente Dependente (LD). Queremos saber se, ao adicionar mais um vetor
a esse conjunto, o novo conjunto
também será Linearmente Dependente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser Linearmente Dependente.
Passo 2
Um conjunto de vetores é Linearmente Dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos simples, isso significa que há uma relação de dependência entre os vetores, ou seja, pelo menos um vetor “não é necessário” porque ele pode ser formado a partir dos outros.
Passo 3
Sabemos que
é Linearmente Dependente. Isso quer dizer que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, ou seja:
onde pelo menos um dos coeficientes
é diferente de zero.
Passo 4
Agora, queremos considerar o conjunto aumentado
. Para verificar se esse conjunto é Linearmente Dependente, precisamos ver se existe uma combinação linear desses quatro vetores que resulte no vetor zero, com pelo menos um coeficiente diferente de zero:
Passo 5
Como
já é Linearmente Dependente, sabemos que podemos encontrar coeficientes
, não todos zero, que satisfazem a equação
. Podemos simplesmente escolher
e definir
,
,
. Assim, a combinação linear se torna:
Como pelo menos um dos
é diferente de zero, essa é uma combinação não trivial, o que prova que o conjunto
também é Linearmente Dependente.
Resposta
Verdadeiro. Se
é Linearmente Dependente, então qualquer conjunto que inclua
mais mais um vetor, como
, também será Linearmente Dependente.