Seja
o espaço vetorial com as operações usuais. Encontre um vetor em
que gere
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
com as operações de adição e multiplicação usuais. Precisamos encontrar um vetor que gera a interseção
, onde:
-
é basicamente o plano cartesiano no espaço tridimensional (todos os vetores com a terceira coordenada igual a zero). -
é o espaço gerado pelos vetores e .
Vamos precisar usar conceitos de interseção de subespaços vetoriais e combinações lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar
. Isso quer dizer que estamos procurando por vetores que estão ambos em
e em
.
Como
é o conjunto de vetores
, qualquer vetor na interseção deve ter a terceira coordenada igual a zero.
Passo 3
Vamos expressar um vetor genérico em
. Como
é o espaço gerado por
e
, qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
onde
e
são números reais.
Passo 4
Como queremos que
esteja também em
, a terceira coordenada deve ser zero. Então, igualamos a terceira componente a zero:
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar
:
Passo 5
Agora, substituímos
nas outras componentes do vetor
:
Passo 6
Observamos que qualquer vetor em
pode ser escrito como
, onde
é um número real. Isso significa que todos esses vetores são múltiplos do vetor
.
Resposta
Um vetor que gera
é
.