Seja (V=R^3,+, cdot) o espaço vetorial com as operações usuais. Encontre um vetor em V=R^3 que gere U cap W, onde U=(a, b, 0): a, b in R e W=[(1,2,3),(1,-1,1)].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = R^3 com as operações de adição e multiplicação usuais. Precisamos encontrar um vetor que gera a interseção U cap W , onde:
  • U = (a, b, 0) : a, b in R é basicamente o plano cartesiano no espaço tridimensional (todos os vetores com a terceira coordenada igual a zero).
  • W = span(1,2,3), (1,-1,1) é o espaço gerado pelos vetores (1,2,3) e (1,-1,1) .
Vamos precisar usar conceitos de interseção de subespaços vetoriais e combinações lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar U cap W . Isso quer dizer que estamos procurando por vetores que estão ambos em U e em W .
Como U é o conjunto de vetores (a, b, 0) , qualquer vetor na interseção deve ter a terceira coordenada igual a zero.

Passo 3

Vamos expressar um vetor genérico em W . Como W é o espaço gerado por (1,2,3) e (1,-1,1) , qualquer vetor em W pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores:
v = s(1,2,3) + t(1,-1,1) = (s + t, 2s - t, 3s + t)
onde s e t são números reais.

Passo 4

Como queremos que v esteja também em U , a terceira coordenada deve ser zero. Então, igualamos a terceira componente a zero:
3s + t = 0
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis. Por exemplo, podemos isolar t :
t = -3s

Passo 5

Agora, substituímos t = -3s nas outras componentes do vetor v :
v = (s + (-3s), 2s - (-3s), 0) = (-2s, 5s, 0)

Passo 6

Observamos que qualquer vetor em U cap W pode ser escrito como (-2s, 5s, 0) , onde s é um número real. Isso significa que todos esses vetores são múltiplos do vetor (-2, 5, 0) .

Resposta

Um vetor que gera U cap W é ( -2, 5, 0 ) .

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