Mostre que no conjunto T=[ll1 & 0 x & 1]2 times 2 / x in R está bem definida a multiplicação usual de matrizes. Além disso, calcule [cc1 & 0 -2 & 1]2 times 2+[ll1 & 0 3 & 1]2 times 2 e conclua que em T não está definida a operação usual de adição de matrizes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o conjunto
T = l1 & 0 x & 1 mid xinRr!,
(a) mostrar que a multiplicação usual de matrizes está bem definida em T (ou seja, que o produto de dois elementos de T volta a pertencer a T),
(b) calcular
1 & 0 -2 & 1 + 1 & 0 3 & 1
e concluir que a adição usual não está bem definida em T (não é fechada em T).
Conteúdo: operações em matrizes e propriedade de fechamento.

Passo 2

Tomemos
A = 1 & 0 x & 1 e B = 1 & 0 y & 1,
com x,yinR. Então o produto AB é
AB = 1 & 0 x & 1 1 & 0 y & 1 = 1cdot1 + 0cdot y & 1cdot0 + 0cdot1 [6pt] xcdot1 + 1cdot y & xcdot0 + 1cdot1 = 1 & 0 x+y & 1 ]

Passo 3

Como x+yinR, temos
1 & 0 x+y & 1in T.
Logo a multiplicação usual é fechada em T e, portanto, está bem definida.

Passo 4

Agora fazemos a soma indicada:
1 & 0 -2 & 1 + 1 & 0 3 & 1 = 1+1 & 0+0 -2+3 & 1+1 = 2 & 0 1 & 2

Passo 5

O resultado não é da forma , pois o elemento vale . Portanto a adição usual não é fechada em e não está bem definida em .

Resposta

A multiplicação usual em T está bem definida (fechamento), mas a adição usual não está, pois o exemplo dado produz uma matriz fora de T.

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