Considere a função
tr: M2(R) & C A & sim tr(A)=a11+a22
Mostre que t r não é uma função injetiva, tão pouco é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
trcolon M2(R)toC, tr(A)=a11+a22,
e pede para mostrar que ela não é injetiva nem sobrejetiva.
Para isso, vamos usar as definições:
– Uma função f é injetiva se, sempre que f(X)=f(Y), então X=Y.
– Uma função f é sobrejetiva se, para todo c no contradomínio, existe X no domínio tal que f(X)=c.

Passo 2

Para ver que tr não é injetiva, basta encontrar duas matrizes distintas com mesma soma dos elementos da diagonal. Por exemplo, seja
A = 1 & 0 0 & -1, B = 0 & 0 0 & 0
Então Aneq B, mas
tr(A) = 1 + (-1) = 0 e tr(B) = 0 + 0 = 0
Logo tr(A)=tr(B) com Aneq B, mostrando que não é injetiva.

Passo 3

Para ver que tr não é sobrejetiva em C, note que, se Ain M2(R), então tr(A)=a11+a22 é sempre um número real. Assim, nenhum valor com parte imaginária não nula (por exemplo i) pode ser atingido. Logo o conjunto imagem é contido em RsubsetneqC, e tr não é sobrejetiva.

Resposta

A aplicação tr não é injectiva nem sobrejetiva.

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