Mostre que não é uma função injetiva, tão pouco é sobrejetiva.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede para mostrar que ela não é injetiva nem sobrejetiva.
Para isso, vamos usar as definições:
– Uma função é injetiva se, sempre que , então .
– Uma função é sobrejetiva se, para todo no contradomínio, existe no domínio tal que .
Passo 2
Para ver que não é injetiva, basta encontrar duas matrizes distintas com mesma soma dos elementos da diagonal. Por exemplo, seja
Então Aneq B, mas
tr(A) = 1 + (-1) = 0 e tr(B) = 0 + 0 = 0
Logo tr(A)=tr(B) com Aneq B, mostrando que não é injetiva.
Passo 3
Para ver que tr não é sobrejetiva em C, note que, se Ain M2(R), então tr(A)=a11+a22 é sempre um número real. Assim, nenhum valor com parte imaginária não nula (por exemplo i) pode ser atingido. Logo o conjunto imagem é contido em RsubsetneqC, e tr não é sobrejetiva.