Considere o conjunto W=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2=1, que representa um círculo unitário. Verifique se o conjunto W é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define W = (x,y)in R^2 mid x^2 + y^2 = 1 e pede para verificar se W é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, bastaria checar as três propriedades padrão de subespaço:
  1. 0in W;
  2. se u,vin W então u+vin W (fechadura sob adição);
  3. se uin W e lambdainR então lambda uin W (fechadura sob multiplicação escalar).

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a W. Calculamos
0^2 + 0^2 = 0 neq 1,
logo (0,0)notin W. Assim, já falha a condição (1), pois todo subespaço deve conter o vetor zero.

Passo 3

Para ver que também não há fechadura sob adição, escolhemos dois vetores em W, por exemplo (1,0) e (0,1). Ambos satisfazem
1^2 + 0^2 = 1 e 0^2 + 1^2 = 1
Contudo,
(1,0)+(0,1) = (1,1) e 1^2 + 1^2 = 2 neq 1,
então (1,1)notin W, mostrando que W não é fechado sob adição.

Passo 4

A fechadura sob multiplicação escalar também falha: tomando (1,0)in W e lambda = 2, temos
2cdot(1,0) = (2,0) e 2^2 + 0^2 = 4 neq 1,
ou seja, 2cdot(1,0)notin W.

Resposta

O conjunto W não é um subespaço vetorial de R^2, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob adição nem sob multiplicação escalar.

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