Considere o conjunto
, que representa um círculo unitário. Verifique se o conjunto
é um subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, bastaria checar as três propriedades padrão de subespaço:
-
; - se
então (fechadura sob adição); - se
e então (fechadura sob multiplicação escalar).
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Calculamos
logo
. Assim, já falha a condição (1), pois todo subespaço deve conter o vetor zero.
Passo 3
Para ver que também não há fechadura sob adição, escolhemos dois vetores em
, por exemplo
e
. Ambos satisfazem
Contudo,
então
, mostrando que
não é fechado sob adição.
Passo 4
A fechadura sob multiplicação escalar também falha: tomando
e
, temos
ou seja,
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço vetorial de
, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob adição nem sob multiplicação escalar.