Considere o conjunto
, ou seja, o conjunto de todos os polinômios de grau 1. Verifique por que esse conjunto não é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
isto é, todos os polinômios de grau exato 1. O objetivo é verificar se
, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, satisfaz os axiomas de espaço vetorial.
Passo 2
Um dos axiomas é o fechamento aditivo: para todo
deve valer
. Vamos mostrar que essa propriedade falha em
.
Passo 3
Considere
Como
e
têm grau 1, temos
. Porém
que é um polinômio de grau 0, logo
.
Passo 4
Como
não é fechado sob soma, falha um axioma fundamental de espaço vetorial (fechamento aditivo). Portanto
não é um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
não é espaço vetorial porque a soma de dois polinômios de grau 1 pode resultar num polinômio de grau menor (por exemplo,
e
somam
), violando o fechamento em relação à adição.