Considere o conjunto T=a x+b mid a, b in R, ou seja, o conjunto de todos os polinômios de grau 1. Verifique por que esse conjunto não é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
T = a x + b mid a,binR, aneq 0,
isto é, todos os polinômios de grau exato 1. O objetivo é verificar se T, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, satisfaz os axiomas de espaço vetorial.

Passo 2

Um dos axiomas é o fechamento aditivo: para todo p,qin T deve valer p+qin T. Vamos mostrar que essa propriedade falha em T.

Passo 3

Considere
p(x)=x+1, q(x)=-x+2
Como p e q têm grau 1, temos p,qin T. Porém
p(x)+q(x) = (x+1)+(-x+2) = 3,
que é um polinômio de grau 0, logo p+qnotin T.

Passo 4

Como T não é fechado sob soma, falha um axioma fundamental de espaço vetorial (fechamento aditivo). Portanto T não é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto T não é espaço vetorial porque a soma de dois polinômios de grau 1 pode resultar num polinômio de grau menor (por exemplo, x+1 e -x+2 somam 3), violando o fechamento em relação à adição.

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