Seja T: R^3 R^3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de R^3 é dada por
(rrr 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & 1 )
(b) Determine uma fórmula para T^-1.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear TcolonR^3toR^3 cuja matriz na base canônica é
A = 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & 1
Para encontrar T^-1, basta calcular A^-1, ou seja, resolver o sistema
A,x = y
para x=(x1,x2,x3) em função de y=(y1,y2,y3).

Passo 2

Escrevendo as componentes de A,x=y, temos
x1 + x3 = y1, 2x1 - x2 + x3 = y2, x3 = y3

Passo 3

Da terceira equação vem
x3 = y3
Substituindo em x1 + x3 = y1, obtemos
x1 = y1 - y3
Finalmente, na segunda equação
2x1 - x2 + x3 = y2
substituímos x1 e x3 para achar
2(y1 - y3);-;x2;+;y3 ;=;y2 Longrightarrow x2 = 2y1 - y2 - y3

Passo 4

Portanto, a inversa atua assim sobre y=(y1,y2,y3):
T^-1(y1,y2,y3) ;=;l(y1 - y3,;2y1 - y2 - y3,;y3r)
Isto corresponde à matriz
A^-1 = 1 & 0 & -1 2 & -1 & -1 0 & 0 & 1

Resposta

T^-1(x,y,z) = (,x - z,;2x - y - z,;z,).

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