Seja T: R^4 R^3 dada por
T(x, y, z, t)=(x-y-z-t, 2 x+y+t, z-t)
Verifique que:
(a) dim Im(T)= posto [T]xi2^xi1
(b) dim ker(T)= nulidade de [T]xi2^xi1

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
TcolonR^4toR^3, T(x,y,z,t)=(x-y-z-t,;2x+y+t,;z-t)
e pede para verificar que
(a) dimIm(T) coincide com o posto da matriz de T nas bases canônicas;
(b) dimker(T) coincide com a nulidade dessa mesma matriz.
O conteúdo envolve representação matricial de transformação linear, cálculo de posto (rank) e nulidade (nullity) e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Vamos achar a matriz de T em relação às bases canônicas xi1 de R^4 e xi2 de R^3. Basta escrever as imagens dos vetores canônicos de R^4 como colunas:
[T]xi2^xi1 = 1 & -1 & -1 & -1 2 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 ,
pois
;T(1,0,0,0)=(1,2,0),;T(0,1,0,0)=(-1,1,0),;T(0,0,1,0)=(-1,0,1),;T(0,0,0,1)=(-1,1,-1)

Passo 3

Calculamos o posto por eliminação de Gauss. Partindo de
1 & -1 & -1 & -1 2 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 ,
fazemos L2 L2-2L1:
1 & -1 & -1 & -1 0 & 3 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & -1
Já aparecem pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo o número de linhas não nulas (posto) é 3.

Passo 4

Portanto
dimIm(T)=postol([T]xi2^xi1r)=3

Passo 5

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity), para uma transformação de um espaço de dimensão 4 vale
dimker(T)+dimIm(T)=4
Assim
dimker(T)=4-dimIm(T)=4-3=1,
o que coincide com a nulidade de [T]xi2^xi1.

Resposta

(a) dimIm(T)=3.
(b) dimker(T)=1.

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