e pede para verificar que
(a) coincide com o posto da matriz de nas bases canônicas;
(b) coincide com a nulidade dessa mesma matriz.
O conteúdo envolve representação matricial de transformação linear, cálculo de posto (rank) e nulidade (nullity) e o Teorema da Dimensão (rank–nullity).
Passo 2
Vamos achar a matriz de em relação às bases canônicas de e de . Basta escrever as imagens dos vetores canônicos de como colunas:
pois ;T(1,0,0,0)=(1,2,0),;T(0,1,0,0)=(-1,1,0),;T(0,0,1,0)=(-1,0,1),;T(0,0,0,1)=(-1,1,-1)
Passo 3
Calculamos o posto por eliminação de Gauss. Partindo de
1 & -1 & -1 & -1 2 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -1 ,
fazemos L2 L2-2L1:
1 & -1 & -1 & -1 0 & 3 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & -1
Já aparecem pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo o número de linhas não nulas (posto) é 3.
Passo 4
Portanto
dimIm(T)=postol([T]xi2^xi1r)=3
Passo 5
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity), para uma transformação de um espaço de dimensão 4 vale