O que se pede: obter, pelo processo de Gram–Schmidt, um conjunto ortonormal formado por três vetores em \mathbb{R}^{3} que gerem o mesmo subespaço de S.
Passos seguintes vão construir vetores ortogonais e depois normalizá‑los. Vou explicar cada fórmula e conta com calma.]
Passo 2
Breve explicação do método (fórmulas que vamos usar):
Produto interno padrão em \mathbb{R}^{3}: para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3),
Agora subtrai-se as duas projeções de x_3 para obter u_3:
usar denominador comum 666 facilita. Convertendo \operatorname{proj}_{e_1}(x_3) para denominador 666 (observe 9\cdot74=666):
Resumo das etapas finais (sem repetir demais): obtivemos três vetores e_1,e_2,e_3 unitários e mutuamente ortogonais pelos cálculos acima; cada passo explicou a fórmula usada (projeção e normalização) e as contas foram mostradas. Força! já estamos quase lá — falta só conferir a resposta final.