Considere o conjunto S=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3}, em que
x_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right], \quad x_{2}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 3 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad x_{3}=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -2 \\\\ 5 \end{array}\right] .
Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter um conjunto ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} com
x_{1}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix}, \qquad x_{2}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{bmatrix}, \qquad x_{3}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]5\end{bmatrix}.
O que se pede: obter, pelo processo de Gram–Schmidt, um conjunto ortonormal formado por três vetores em \mathbb{R}^{3} que gerem o mesmo subespaço de S.
Passos seguintes vão construir vetores ortogonais e depois normalizá‑los. Vou explicar cada fórmula e conta com calma.]

Passo 2

Breve explicação do método (fórmulas que vamos usar):
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^{3}: para u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3),
\langle u,v\rangle = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • Norma associada: \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.
  • Projeção de v sobre um vetor não nulo u:
\operatorname{proj}_u(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.
  • Gram–Schmidt (passo a passo): tomamos u_1=x_1, normalizamos para obter e_1=\dfrac{u_1}{\|u_1\|}. Depois
u_2 = x_2 - \operatorname{proj}_{e_1}(x_2), \qquad e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|},
e finalmente
u_3 = x_3 - \operatorname{proj}_{e_1}(x_3) - \operatorname{proj}_{e_2}(x_3), \qquad e_3 = \frac{u_3}{\|u_3\|}.
Vou aplicar essas fórmulas e explicar cada cálculo.

Passo 3

Construção do primeiro vetor ortonormal e_1.
  • Primeiro u_1=x_1. Calcular a norma:
\|x_1\|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
  • Normalizando:
e_1=\frac{x_1}{\|x_1\|=\;3}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix}.]

Passo 4

Construção do segundo vetor ortonormal e_2.
  • Calcular o coeficiente da projeção de x_2 em e_1:
\langle x_2,e_1\rangle = \begin{bmatrix}1&3&1\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix} =\frac{1\cdot1+3\cdot2+1\cdot(-2)}{3}=\frac{1+6-2}{3}=\frac{5}{3}.
  • A projeção é \operatorname{proj}_{e_1}(x_2)=\langle x_2,e_1\rangle\,e_1=\dfrac{5}{3}e_1. Em componentes:
\operatorname{proj}_{e_1}(x_2)=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}5/9\\[4pt]10/9\\[4pt]-10/9\end{bmatrix}.
  • Subtraindo para obter u_2:
u_2 = x_2 - \operatorname{proj}_{e_1}(x_2) =\begin{bmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5/9\\[4pt]10/9\\[4pt]-10/9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4/9\\[4pt]17/9\\[4pt]19/9\end{bmatrix}.
Podemos escrever u_2=\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{bmatrix}.
  • Calcular a norma de u_2:
\|u_2\|=\frac{1}{9}\sqrt{4^2+17^2+19^2} =\frac{1}{9}\sqrt{16+289+361} =\frac{1}{9}\sqrt{666}.
  • Normalizando u_2:
e_2=\frac{u_2}{\|u_2\|}=\frac{\dfrac{1}{9}\begin{bmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{bmatrix}}{\dfrac{\sqrt{666}}{9}} =\frac{1}{\sqrt{666}}\begin{bmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{bmatrix}.
Observação útil: a forma final ficou simples porque o fator 1/9 cancelou.]

Passo 5

Construção do terceiro vetor ortonormal e_3.
  • Primeiro coeficiente (projeção em e_1):
\langle x_3,e_1\rangle = \begin{bmatrix}1&-2&5\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix} =\frac{1\cdot1 + (-2)\cdot2 + 5\cdot(-2)}{3} =\frac{1-4-10}{3}=\frac{-13}{3}.
Portanto
\operatorname{proj}_{e_1}(x_3)=\frac{-13}{3}e_1=\frac{-13}{3}\cdot\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-13/9\\[4pt]-26/9\\[4pt]26/9\end{bmatrix}.
  • Segundo coeficiente (projeção em e_2):
\langle x_3,e_2\rangle =\begin{bmatrix}1&-2&5\end{bmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{666}}\begin{bmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{bmatrix} =\frac{1\cdot4 + (-2)\cdot17 + 5\cdot19}{\sqrt{666}} =\frac{4-34+95}{\sqrt{666}}=\frac{65}{\sqrt{666}}.
Então
\operatorname{proj}_{e_2}(x_3)=\frac{65}{\sqrt{666}}\,e_2 =\frac{65}{\sqrt{666}}\cdot\frac{1}{\sqrt{666}}\begin{bmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{bmatrix} =\frac{65}{666}\begin{bmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{bmatrix}.
  • Agora subtrai-se as duas projeções de x_3 para obter u_3:
    usar denominador comum 666 facilita. Convertendo \operatorname{proj}_{e_1}(x_3) para denominador 666 (observe 9\cdot74=666):
\operatorname{proj}_{e_1}(x_3)=\begin{bmatrix}-962/666\\[4pt]-1924/666\\[4pt]1924/666\end{bmatrix}, \quad \operatorname{proj}_{e_2}(x_3)=\begin{bmatrix}260/666\\[4pt]1105/666\\[4pt]1235/666\end{bmatrix},
e x_3=\begin{bmatrix}666/666\\[4pt]-1332/666\\[4pt]3330/666\end{bmatrix}. Subtraindo:
u_3 = x_3 - \operatorname{proj}_{e_1}(x_3) - \operatorname{proj}_{e_2}(x_3) =\frac{1}{666}\begin{bmatrix}666+962-260\\[4pt]-1332+1924-1105\\[4pt]3330-1924-1235\end{bmatrix} =\frac{1}{666}\begin{bmatrix}1368\\[4pt]-513\\[4pt]171\end{bmatrix}.
Simplificando os coeficientes por 666: 1368/666=152/74, -513/666=-57/74, 171/666=19/74. Assim é conveniente escrever
u_3=\frac{1}{74}\begin{bmatrix}152\\[4pt]-57\\[4pt]19\end{bmatrix}.
  • Norma de u_3:
\|u_3\|=\frac{1}{74}\sqrt{152^2+(-57)^2+19^2} =\frac{1}{74}\sqrt{23104+3249+361} =\frac{1}{74}\sqrt{26714}.
  • Normalizando:
e_3=\frac{u_3}{\|u_3\|}=\frac{\dfrac{1}{74}\begin{bmatrix}152\\[4pt]-57\\[4pt]19\end{bmatrix}}{\dfrac{\sqrt{26714}}{74}} =\frac{1}{\sqrt{26714}}\begin{bmatrix}152\\[4pt]-57\\[4pt]19\end{bmatrix}.]

Passo 6

Resumo das etapas finais (sem repetir demais): obtivemos três vetores e_1,e_2,e_3 unitários e mutuamente ortogonais pelos cálculos acima; cada passo explicou a fórmula usada (projeção e normalização) e as contas foram mostradas. Força! já estamos quase lá — falta só conferir a resposta final.

Resposta

\displaystyle e_1=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{bmatrix}\
\displaystyle e_2=\frac{1}{\sqrt{666}}\begin{bmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{bmatrix}\
\displaystyle e_3=\frac{1}{\sqrt{26714}}\begin{bmatrix}152\\[4pt]-57\\[4pt]19\end{bmatrix}]

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