Considere o conjunto
S=[cc 1 & -1 1 & 1 ],[cc -1 & 1 1 & 1 ],[ll 1 & 1 1 & 1 ],[ll 1 & 1 1 & 0 ]
O conjunto S é LI ou LD?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=lA1,A2,A3,A4rsubset M2times2(R)
com
A1=1 & -11 & 1,; A2=-1 & 11 & 1,; A3=1 & 11 & 1,; A4=1 & 11 & 0,
e pede para determinar se S é linearmente independente (LI) ou dependente (LD). O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais: vamos montar a combinação linear nula e ver se há só a solução trivial.

Passo 2

Identificamos cada matriz Ai com um vetor viinR^4 usando a ordenação das entradas (a,b,c,d). Assim
v1=(1,-1,1,1), v2=(-1,1,1,1), v3=(1,1,1,1), v4=(1,1,1,0)

Passo 3

Escrevemos a combinação linear igual a zero:
c1v1+c2v2+c3v3+c4v4=(0,0,0,0)
Isso gera o sistema de equações
c1-c2+c3+c4=0, -,c1+c2+c3+c4=0, c1+c2+c3+c4=0, c1+c2+c3=0

Passo 4

Do quarto item temos
c1+c2+c3=0Longrightarrow c3=-c1-c2
Substituindo na terceira equação,
c1+c2+(-c1-c2)+c4=0 Longrightarrow c4=0
Na primeira equação fica
c1-c2+(-c1-c2)+0=0 Longrightarrow -2c2=0 Longrightarrow c2=0
Então c3=-c1. Finalmente, na segunda equação,
-,c1+0+(-c1)+0=0 Longrightarrow -2c1=0 Longrightarrow c1=0,
e daí c3=0.

Passo 5

Encontramos apenas a solução trivial c1=c2=c3=c4=0. Logo, não há combinação linear não trivial que dê zero.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente (LI).

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