Utilizando a mudança de variáveis: x+y=u e x-y=v, calcule:
integral duplaD(x+y)^2(x-y)^2 d x d y
onde D é limitado pelo quadrado de vértices (1,0),(2,1) e (0,1).

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaD(x+y)^2(x-y)^2,dx,dy, onde D é um quadrado girado cujos vértices são (1,0), (2,1), (1,2) e (0,1). O conteúdo principal é mudança de variáveis, usando u=x+y e v=x-y, e vamos precisar também do jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Definimos a transformação por
u = x + y, v = x - y
Para inverter, escrevemos
x = u+v2, y = u-v2
O jacobiano é
J = det partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v = det 1/2 & 1/2 1/2 & -1/2 = -12,
logo |J|=1/2 e dx,dy = tfrac12,du,dv.

Passo 3

Agora vamos mapear a região D no plano (u,v). Calculando (u,v) em cada vértice:
(1,0)mapsto(u,v)=(1,1), (2,1)mapsto(3,1), (1,2)mapsto(3,-1), (0,1)mapsto(1,-1)
Esses pontos formam um retângulo alinhado aos eixos, com
1 <= u <= 3, -1 <= v <= 1

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos
integral duplaD(x+y)^2(x-y)^2,dx,dy = integral duplaD'u^2v^2cdot12,du,dv = 12integralu=1^3integralv=-1^1u^2v^2,dv,du
Integramos primeiro em v:
integral-1^1v^2,dv = [v^33]-1^1 = 13-l(-13r) = 23
Fica
12integral1^3u^2cdot23,du = 13integral1^3u^2,du = 13[u^33]1^3 = 19(27-1) = 269

Resposta

269

Exercícios relacionados