Utilizando a mudança de variáveis:
e
, calcule:
onde
é limitado pelo quadrado de vértices
e
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
é um quadrado girado cujos vértices são
,
,
e
. O conteúdo principal é mudança de variáveis, usando
e
, e vamos precisar também do jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Definimos a transformação por
Para inverter, escrevemos
O jacobiano é
logo
e
.
Passo 3
Agora vamos mapear a região
no plano
. Calculando
em cada vértice:
Esses pontos formam um retângulo alinhado aos eixos, com
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos
Integramos primeiro em
:
Fica