Verifique se os vetores abaixo são combinação linear de v1=(1,-1,2), v2=(-1,1,1), v3=(1,1,1).
u=(1,1,0). Podemos dizer que u é gerado por v1, v2 e v3?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores v1=(1,-1,2), v2=(-1,1,1), v3=(1,1,1) e u=(1,1,0). Pergunta se u é combinação linear de v1, v2, v3. O conteúdo aqui é encontrar escalares a,b,c tais que
a, v1 + b, v2 + c, v3 = u
o que gera um sistema linear.

Passo 2

Escrevendo a combinação, temos
a,(1,-1,2) + b,(-1,1,1) + c,(1,1,1) = (1,1,0)
Isso dá o sistema
a - b + c = 1, -,a + b + c = 1, 2a + b + c = 0

Passo 3

Somando a primeira e a segunda equações, obtemos
(a - b + c) + (-a + b + c) = 2c = 1 + 1 = 2,
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c = 1

Passo 4

Substituindo c=1 na primeira equação,
a - b + 1 = 1 Longrightarrow a - b = 0 Longrightarrow a = b

Passo 5

Agora, na terceira equação, substituímos c=1 e b=a:
2a + a + 1 = 0 Longrightarrow 3a = -1 Longrightarrow a = -tfrac13, b = -tfrac13

Passo 6

Portanto existe solução (a,b,c)=(-tfrac13,-tfrac13,1), o que mostra que
u = -tfrac13, v1 ;-;tfrac13, v2 ;+;1, v3
Logo u pertence ao espaço gerado por v1, v2, v3.

Resposta

Sim. u é combinação linear de v1, v2, v3 com coeficientes a=-tfrac13, b=-tfrac13, c=1.

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