Considere o conjunto
S=\{(x, 0, z) / x, z \in \mathbb{R}\}
Verifique se S é um subespaço de \mathbb{R}^{3} com operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

Passo 1

O enunciado define
S = \{(x,0,z)\mid x,z\in\mathbb{R}\}
e pede para verificar se S é um subespaço de \mathbb{R}^3 com as operações usuais. Para isso, precisamos checar três propriedades:
  1. Não-vazio (contém o vetor zero),
  2. fechado sob adição,
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o vetor zero de \mathbb{R}^3 pertence a S. O vetor zero é (0,0,0). Como 0 e 0 são reais, temos
(0,0,0)\in S.
Logo, S não é vazio.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. Tomemos
u = (x_1,0,z_1)\in S,\quad v = (x_2,0,z_2)\in S.
Então
u+v = (x_1,0,z_1)+(x_2,0,z_2) = (x_1+x_2,\;0+0,\;z_1+z_2) = (x_1+x_2,0,z_1+z_2).
Como x_1+x_2 e z_1+z_2 são reais, u+v\in S. Assim, S é fechado sob adição.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e
u = (x,0,z)\in S.
Então
\lambda u = \lambda\,(x,0,z) = (\lambda x,\;\lambda\cdot 0,\;\lambda z) = (\lambda x,0,\lambda z).
Como \lambda x e \lambda z são reais, temos \lambda u\in S. Logo, S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

S é um subespaço de \mathbb{R}^3.

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