Mostre que:
O vetor w=(2,5) pode ser escrito como combinação linear dos vetores u= (-1,2) e v=(3,1).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor \,w=(2,5)\, como combinação linear dos vetores \,u=(-1,2)\, e \,v=(3,1).
Conteúdo: combinação linear em \mathbb{R}^2 e resolução de um sistema linear 2\times 2.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha e \beta tais que
\alpha\,u + \beta\,v = w.
Isto é,
\alpha\,(-1,2) + \beta\,(3,1) = (2,5).

Passo 3

Comparando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} -\alpha + 3\beta = 2,\\\\ 2\alpha + \beta = 5. \end{cases}

Passo 4

Pela primeira equação, -\alpha + 3\beta = 2 implica
\alpha = 3\beta - 2.
Substituindo na segunda,
2(3\beta - 2) + \beta = 5 \quad\Longrightarrow\quad 6\beta - 4 + \beta = 5 \quad\Longrightarrow\quad 7\beta = 9 \quad\Longrightarrow\quad \beta = \tfrac{9}{7}.

Passo 5

Então
\alpha = 3\bigl(\tfrac{9}{7}\bigr) - 2 = \tfrac{27}{7} - \tfrac{14}{7} = \tfrac{13}{7}.
Logo
w = \alpha\,u + \beta\,v = \tfrac{13}{7}\,u + \tfrac{9}{7}\,v.

Resposta

w = \frac{13}{7}\,u + \frac{9}{7}\,v.

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