Questão 3 (10 pontos). Seja A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2 \\\\ -1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right).
(a) Calcule os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor encontrado no item ( a ), encontre um autovetor associado.
(c) A matriz A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que P^{-1} A P é diagonal; se não for, justifique.
e pede:
(a) os autovalores de A;
(b) para cada autovalor, um autovetor associado;
(c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir P tal que P^{-1}AP seja diagonal.
Para (a) usamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Para (b) resolvemos (A-\lambda I)v=0. Para (c) checamos se há três autovetores linearmente independentes.
Da primeira equação segue -3x+2y+2z=0\;\Longrightarrow\;x=\tfrac23(y+z).
Da segunda -x-6y-6z=0\;\Longrightarrow\;x=-6(y+z).
Igualando vem y+z=0, ou seja z=-y, e então x=0.
Um autovetor:
Da primeira equação 2x+2y+2z=0\;\Longrightarrow\;x=-y-z.
Da segunda vem z=0, então x=-y.
Um autovetor:
v_{-2} = (-1,1,0).
Passo 4
Os vetores v_{3}=(0,1,-1), v_{-1}=(-2,1,0) e v_{-2}=(-1,1,0) são três autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Portanto A é diagonalizável. Se ordenarmos a diagonal de P^{-1}AP como \mathrm{diag}(-2,-1,3), tomamos
(a) Os autovalores são \{3,\,-1,\,-2\}.
(b) Autovetores associados: \lambda=3\mapsto(0,1,-1), \lambda=-1\mapsto(-2,1,0), \lambda=-2\mapsto(-1,1,0).
(c) Sim, A é diagonalizável. Uma escolha de P é