Questão 3 (10 pontos). Seja A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2 \\\\ -1 & -3 & -6 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right).
(a) Calcule os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor encontrado no item ( a ), encontre um autovetor associado.
(c) A matriz A é diagonalizável? Se for, encontre P tal que P^{-1} A P é diagonal; se não for, justifique.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\\\ -1 & -3 & -6\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede:
(a) os autovalores de A;
(b) para cada autovalor, um autovetor associado;
(c) verificar se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir P tal que P^{-1}AP seja diagonal.
Para (a) usamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Para (b) resolvemos (A-\lambda I)v=0. Para (c) checamos se há três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculemos
A - \lambda I = \begin{pmatrix} -\lambda & 2 & 2\\\\ -1 & -3-\lambda & -6\\\\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Como a terceira linha só tem 3-\lambda na diagonal,
\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}-\lambda & 2\\\ -1 & -3-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)\bigl(\lambda(3+\lambda)+2\bigr) = (3-\lambda)(\lambda+1)(\lambda+2).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 3,\quad \lambda_2 = -1,\quad \lambda_3 = -2.

Passo 3

Para cada \lambda resolvemos (A-\lambda I)v=0.
Para \lambda = 3:
(A-3I)v = \begin{pmatrix}-3&2&2\\\ -1&-6&-6\\\ 0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=0.
Da primeira equação segue -3x+2y+2z=0\;\Longrightarrow\;x=\tfrac23(y+z).
Da segunda -x-6y-6z=0\;\Longrightarrow\;x=-6(y+z).
Igualando vem y+z=0, ou seja z=-y, e então x=0.
Um autovetor:
v_{3} = (0,1,-1).
Para \lambda = -1:
(A+I)v = \begin{pmatrix}1&2&2\\\ -1&-2&-6\\\ 0&0&4\end{pmatrix}v=0.
Da primeira equação x+2y+2z=0\;\Longrightarrow\;x=-2y-2z.
Da segunda surge z=0. Logo x=-2y.
Um autovetor:
v_{-1} = (-2,1,0).
Para \lambda = -2:
(A+2I)v = \begin{pmatrix}2&2&2\\\ -1&-1&-6\\\ 0&0&5\end{pmatrix}v=0.
Da primeira equação 2x+2y+2z=0\;\Longrightarrow\;x=-y-z.
Da segunda vem z=0, então x=-y.
Um autovetor:
v_{-2} = (-1,1,0).

Passo 4

Os vetores v_{3}=(0,1,-1), v_{-1}=(-2,1,0) e v_{-2}=(-1,1,0) são três autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Portanto A é diagonalizável. Se ordenarmos a diagonal de P^{-1}AP como \mathrm{diag}(-2,-1,3), tomamos
P = \bigl[v_{-2}\;\;v_{-1}\;\;v_{3}\bigr] = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
de modo que
P^{-1}AP = \begin{pmatrix}-2&0&0\\\ 0&-1&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix}.

Resposta

(a) Os autovalores são \{3,\,-1,\,-2\}.
(b) Autovetores associados:
\lambda=3\mapsto(0,1,-1),
\lambda=-1\mapsto(-2,1,0),
\lambda=-2\mapsto(-1,1,0).
(c) Sim, A é diagonalizável. Uma escolha de P é
P=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
com
P^{-1}AP = \mathrm{diag}(-2,-1,3).

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