Questão 4 (10 pontos). Considere a cônica
(a) Coloque a equação de
na forma matricial e determine (analisando a matriz
associada) se
é uma parábola, hipérbole ou elipse. Justifique.
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para
.
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para
Passo 1
O enunciado apresenta a cônica
e pede em (a) colocá-la na forma matricial
para classificar (parábola, hipérbole ou elipse) analisando a matriz
, e em (b) achar uma forma reduzida por mudança de coordenadas (rotação para eliminar o termo
e depois translação para eliminar termos lineares). Vamos usar:
- classificação via determinante de
(ou discriminante ), - diagonalização de
por rotação, - completar quadrados para traduzir o centro.
Passo 2
Escrevendo em forma matricial, definimos
de modo que
Para classificar, calculamos
e também o discriminante da forma geral
,
Como
(ou
e
e
têm mesmo sinal), a cônica é uma elipse.
Passo 3
Para eliminar o termo
, diagonalizamos
por rotação de ângulo
tal que
Definimos novas coordenadas
por
ou seja
Nesse sistema
. Além disso, os termos lineares ficam
e a constante continua
. Logo, em
a equação é
Passo 4
Agora completamos quadrados para eliminar os termos em
e
:
Reagrupando constantes:
Dividindo por
resulta
que é a forma reduzida da elipse, centrada em
.
Resposta
Em (a)
é uma elipse, pois
(ou
).
Em (b), após a rotação de e a translação de centro para
, a forma canônica é
Em (b), após a rotação de