Questão 4 (10 pontos). Considere a cônica
C: 5 x^{2}+2 x y+5 y^{2}+2 \sqrt{2} x-14 \sqrt{2} y+10=0 .
(a) Coloque a equação de C na forma matricial e determine (analisando a matriz 2 \times 2 associada) se C é uma parábola, hipérbole ou elipse. Justifique.
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para C.

Passo 1

O enunciado apresenta a cônica
C:\;5x^{2}+2xy+5y^{2}+2\sqrt{2}\,x-14\sqrt{2}\,y+10=0,
e pede em (a) colocá-la na forma matricial
\mathbf{x}^{T}M\mathbf{x}+\mathbf{L}^{T}\mathbf{x}+F=0
para classificar (parábola, hipérbole ou elipse) analisando a matriz M, e em (b) achar uma forma reduzida por mudança de coordenadas (rotação para eliminar o termo xy e depois translação para eliminar termos lineares). Vamos usar:
  1. classificação via determinante de M (ou discriminante B^{2}-4AC),
  2. diagonalização de M por rotação,
  3. completar quadrados para traduzir o centro.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial, definimos
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\quad M=\begin{pmatrix}5&1\\\ 1&5\end{pmatrix},\quad \mathbf{L}=\begin{pmatrix}2\sqrt{2}\\\ -14\sqrt{2}\end{pmatrix},\quad F=10,
de modo que
\mathbf{x}^{T}M\mathbf{x}+\mathbf{L}^{T}\mathbf{x}+F=0.
Para classificar, calculamos
\det M = 5\cdot5 - 1\cdot1 =24>0
e também o discriminante da forma geral Ax^2+Bxy+Cy^2,
B^{2}-4AC = 2^{2}-4\cdot5\cdot5 = -96<0.
Como \det M>0 (ou B^2-4AC<0 e A e C têm mesmo sinal), a cônica é uma elipse.

Passo 3

Para eliminar o termo xy, diagonalizamos M por rotação de ângulo \alpha tal que
\tan(2\alpha)=\frac{B}{A-C}=\frac{2}{5-5}=\infty \quad\Longrightarrow\quad \alpha=45^\circ.
Definimos novas coordenadas (u,v) por
\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} =Q^{T}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad Q=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&-1\\\ 1&1\end{pmatrix},
ou seja
u=\frac{x+y}{\sqrt2},\quad v=\frac{-\,x+y}{\sqrt2}.
Nesse sistema Q^{T}MQ=\mathrm{diag}(6,4). Além disso, os termos lineares ficam
\mathbf{L}'=Q^{T}\mathbf{L} =\begin{pmatrix}-12\\\ -16\end{pmatrix},
e a constante continua F=10. Logo, em (u,v) a equação é
6\,u^{2}+4\,v^{2}-12\,u -16\,v +10=0.

Passo 4

Agora completamos quadrados para eliminar os termos em u e v:
6\bigl(u^{2}-2u\bigr)+4\bigl(v^{2}-4v\bigr)+10=0 \;\Longrightarrow\; 6\bigl((u-1)^{2}-1\bigr) +4\bigl((v-2)^{2}-4\bigr) +10=0.
Reagrupando constantes:
6(u-1)^{2}+4(v-2)^{2}-6-16+10=0 \;\Longrightarrow\; 6(u-1)^{2}+4(v-2)^{2}=12.
Dividindo por 12 resulta
\frac{(u-1)^{2}}{2}+\frac{(v-2)^{2}}{3}=1,
que é a forma reduzida da elipse, centrada em (u,v)=(1,2).

Resposta

Em (a) C é uma elipse, pois \det M=24>0 (ou B^{2}-4AC<0).
Em (b), após a rotação de 45^\circ e a translação de centro para (u,v)=(1,2), a forma canônica é
\frac{(u-1)^{2}}{2}+\frac{(v-2)^{2}}{3}=1.

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