Mostre que:
O conjunto \{(0,-2,1),(-1,0,5)\} é linearmente independente (LI) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de dois vetores em \mathbb{R}^3,
v_1=(0,-2,1) \quad\text{e}\quad v_2=(-1,0,5),
é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição: v_1 e v_2 são LI se a única combinação linear
a\,v_1 + b\,v_2 = (0,0,0)
ocorrer for para a=b=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear nula, temos
a\,(0,-2,1) + b\,(-1,0,5) = (0,0,0).
Isso gera o sistema de equações:
\begin{cases} 0\cdot a \;-\; b = 0,\\\\ -2a \;+\; 0\cdot b = 0,\\\ a \;+\; 5b = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem \;-\!b=0\Rightarrow b=0.
Substituindo em -2a=0 obtém-se a=0.
A terceira equação a+5b=0 fica 0+5\cdot0=0, consistente.
Como a única solução é a=0 e b=0, concluímos que não há combinação não trivial que dê o vetor nulo.

Resposta

O conjunto \{(0,-2,1),\,(-1,0,5)\} é linearmente independente em \mathbb{R}^3.

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