Considere o conjunto B subset R^4 formado pelos seguintes vetores:
v1=(1,1,0,-1), v2=(1,2,1,3), v3=(1,1,-9,2), v4=(16,-13,1,3)
Encontre as coordenadas de um vetor v=(x, y, z, w) in R^4 em relação à base B.

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva um vetor genérico
v=(x,y,z,w)
como combinação linear dos vetores da base
B=v1,v2,v3,v4.
Em outras palavras, queremos achar escalares alpha1,dots,alpha4 tais que
alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3+alpha4v4 =(x,y,z,w)
Esse é um problema de mudança de base, que reduz a resolver um sistema linear 4times4 por eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevendo na forma de matriz aumentada, temos
onde as colunas da matriz são e a coluna da direita é o vetor .]

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar:
. Zeramos abaixo de ,:
Resultado parcial
. Zeramos abaixo de ,:
Fica
. Zeramos abaixo de ::
obtendo a forma triangular superior
]

Passo 4

Agora fazemos substituição regressiva:
  • Da última linha vem 145;alpha4 =w+5x-4y+tfracx+z-y3 ;Longrightarrow; alpha4 =16x-13y+z+3w435
  • Na linha 3 temos -9,alpha3+30,alpha4=z-y+x ;Longrightarrow; alpha3 =x+y-9z+2w87
  • Na linha 2 vem alpha2-29,alpha4=y-x ;Longrightarrow; alpha2 =x+2y+z+3w15
  • Finalmente da linha 1 alpha1+alpha2+alpha3+16,alpha4=x ;Longrightarrow; alpha1 =x+y-w3

Resposta

As coordenadas de v=(x,y,z,w) na base B são
l(alpha1,alpha2,alpha3,alpha4r) = gl( x+y-w3,; x+2y+z+3w15,; x+y-9z+2w87,; 16x-13y+z+3w435 gr)

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