Considere o conjunto B subset R^4 formado pelos seguintes vetores:
v1=(1,1,0,-1), v2=(1,2,1,3), v3=(1,1,-9,2), v4=(16,-13,1,3)
Mostre que B é um conjunto de vetores ortogonais e uma base do R^4.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
B=v1,v2,v3,v4subsetR^4 com
v1=(1,1,0,-1), v2=(1,2,1,3), v3=(1,1,-9,2), v4=(16,-13,1,3)
Queremos mostrar que os vetores são mutuamente ortogonais (produto escalar zero) e que formam uma base de R^4.

Passo 2

Calculamos os produtos escalares de v1 com os demais:
v1cdot v2 =1cdot1+1cdot2+0cdot1+(-1)cdot3 =1+2+0-3 =0,
v1cdot v3 =1cdot1+1cdot1+0cdot(-9)+(-1)cdot2 =1+1+0-2 =0,
v1cdot v4 =1cdot16+1cdot(-13)+0cdot1+(-1)cdot3 =16-13+0-3 =0

Passo 3

Agora os demais pares:
v2cdot v3 =1cdot1+2cdot1+1cdot(-9)+3cdot2 =1+2-9+6 =0,
v2cdot v4 =1cdot16+2cdot(-13)+1cdot1+3cdot3 =16-26+1+9 =0,
v3cdot v4 =1cdot16+1cdot(-13)+(-9)cdot1+2cdot3 =16-13-9+6 =0

Passo 4

Como todos os produtos escalares vicdot vj com ineq j deram zero, B é um conjunto ortogonal.
Cada vi é diferente do vetor nulo (por exemplo o primeiro componente de cada um é não nulo), logo são vetores não nulos. Num espaço de dimensão 4, um conjunto ortogonal de quatro vetores não nulos é linearmente independente e, tendo quatro vetores, tem justamente o tamanho da dimensão, portanto é base de R^4.

Resposta

B é um conjunto ortogonal e forma uma base de R^4.

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