Considere o conjunto
formado pelos seguintes vetores:
Mostre que
é um conjunto de vetores ortogonais e uma base do
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com
Queremos mostrar que os vetores são mutuamente ortogonais (produto escalar zero) e que formam uma base de
.
Passo 2
Calculamos os produtos escalares de
com os demais:
Passo 3
Agora os demais pares:
Passo 4
Como todos os produtos escalares
com
deram zero,
é um conjunto ortogonal.
Cada é diferente do vetor nulo (por exemplo o primeiro componente de cada um é não nulo), logo são vetores não nulos. Num espaço de dimensão 4, um conjunto ortogonal de quatro vetores não nulos é linearmente independente e, tendo quatro vetores, tem justamente o tamanho da dimensão, portanto é base de
.
Cada