Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base B1 ortogonal para o subespaço de R^4 que tem como base B=(1,1,-1,0),(0,2,0,1),(-1,0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt ao conjunto
B=v1,v2,v3subsetR^4, onde
v1=(1,1,-1,0), v2=(0,2,0,1), v3=(-1,0,0,1),
a fim de obter uma base ortogonal B1=u1,u2,u3 do mesmo subespaço, usando o produto interno usual (produto escalar).

Passo 2

Tomamos
u1=v1=(1,1,-1,0)
Esse é o primeiro vetor ortogonal.

Passo 3

Agora calculamos
u2=v2-proju1(v2).
Primeiro,
lang<= v2,u1rang<= =0cdot1+2cdot1+0cdot(-1)+1cdot0=2, lang<= u1,u1rang<==1+1+1+0=3
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u2 =v2-lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =(0,2,0,1)-23(1,1,-1,0) =l(-tfrac23,tfrac43,tfrac23,1r)
Para simplificar, podemos multiplicar por 3 e definir
U2=3,u2=(-2,4,2,3),
que também é ortogonal a u1.

Passo 4

Por fim,
u3=v3-proju1(v3)-projU2(v3).
Calculamos separadamente:
  1. lang<= v3,u1rang<==-1,
    então proju1(v3)=l(-tfrac13r)u1
  2. lang<= v3,U2rang<= =(-1)(-2)+0cdot4+0cdot2+1cdot3=5, lang<= U2,U2rang<==4+16+4+9=33,
    então projU2(v3)=tfrac533U2
Assim
u3 =v3 -l(-tfrac13r)u1 -533U2 =(-1,0,0,1) +13(1,1,-1,0) -533(-2,4,2,3)
Para limpar denominadores multiplicamos por 33:
33,u3 =33,v3+11,u1-5,U2 =(-33,0,0,33)+(11,11,-11,0)+(10,-20,-10,-15) =(-12,-9,-21,18)
Dividindo por -3 obtemos o vetor inteiro
U3=(4,3,7,-6),
que satisfaz lang<= U3,u1rang<==0 e lang<= U3,U2rang<==0.

Resposta

B1 =l(1,1,-1,0),;(-2,4,2,3),;(4,3,7,-6)r
é uma base ortogonal do subespaço gerado por B.

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