Sabendo que o operador inversivel [T]^-1 tem a propriedade de [T][T]^-1=[I d]. Então o operador inverso de
T(x, y)=(3 x-y,-2 x+y) é?
T^-1(x, y)=(15 x+25 y,-15 x+35 y)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear TcolonR^2toR^2 definido por
T(x,y) = (3x - y,,-2x + y)
e pede a transformação inversa T^-1. Vamos usar representação matricial, cálculo de determinante e adjunta para inverter essa matriz.

Passo 2

Na base canônica, corresponde à matriz
de modo que

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 3cdot1 - (-1)cdot(-2) = 3 - 2 = 1
Como det(A)neq0, A é invertível.

Passo 4

A inversa de é
onde a adjunta de

é
.
Assim,
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Passo 5

Aplicando ao vetor , obtemos

Resposta

T^-1(x,y) = (,x + y,;2x + 3y,)

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