Quanto aos autovalores do Operador Linear T(x, y)=(x-2 y, 3 x-4 y), podemos afirmar que:
lambda1=-32+raiz172 e lambda2=-32-raiz172

Passo 1

O enunciado pede para determinar os autovalores do operador linear
T(x,y) = (x-2y,;3x-4y)
em R^2 e verificar se eles são
lambda1 = tfrac-32 + tfracraiz172 e
lambda2 = tfrac-32 - tfracraiz172.
O conteúdo é cálculo de autovalores por meio do polinômio característico.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica (1,0),(0,1):
A = 1 & -2 3 & -4

Passo 3

Formamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0.
detl(A - lambda Ir) = det 1-lambda & -2 3 & -4-lambda = (1-lambda)(-4-lambda) - (-2)cdot3

Passo 4

Expandindo o determinante:
(1-lambda)(-4-lambda) + 6 = l(-4 - lambda + 4lambda + lambda^2r) + 6 = lambda^2 + 3lambda + 2
Logo o polinômio característico é
lambda^2 + 3lambda + 2 = 0,
cuja solução é
lambda = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12,
i.e.,
lambda1 = -1 e lambda2 = -2.

Passo 5

Comparando com os valores propostos
tfrac-32pmtfracraiz172, vemos que eles não coincidem com
-1 e -2.

Resposta

A afirmação é falsa: os autovalores corretos são
lambda1 = -1 e lambda2 = -2.

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