2 Considere o conjunto: T=\{n \in \omega ; 0+2+4+\cdots+2 n=n(n+1)\}.
Prove que T=\omega.

Passo 1

O enunciado define
T = \{\,n \in \omega \mid 0 + 2 + 4 + \cdots + 2n = n(n+1)\}
e pede para provar que T = \omega.
O conteúdo que vamos usar é o Princípio de Indução em \omega: mostrar a base (caso n=0) e o passo indutivo (de n=k para n=k+1).

Passo 2

Base da indução n=0:
\sum_{i=0}^{0}2i = 2\cdot0 = 0
e
0\,(0+1) = 0.
Logo, a igualdade vale para n=0, isto é, 0\in T.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k\in\omega valha
\sum_{i=0}^{k}2i = k(k+1).
Então, para n = k+1 temos
\sum_{i=0}^{k+1}2i = \sum_{i=0}^{k}2i + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)\bigl(k+2\bigr).
Portanto a fórmula vale também para n=k+1, ou seja, k+1\in T.

Passo 4

Pelo Princípio de Indução, a propriedade
\sum_{i=0}^{n}2i = n(n+1)
vale para todo n\in\omega. Assim T contém todos os naturais, isto é, T=\omega.

Resposta

T = \omega.

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