Determine a solução das equações diferenciais a seguir:
\left(1+t^{2}\right) \frac{d y}{d t}+2 t y=1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
(1+t^{2})\frac{dy}{dt}+2t\,y=1.
Aqui o conteúdo envolvido é o método do fator integrante para equações da forma
\frac{dy}{dt}+p(t)\,y=q(t).

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por (1+t^2):
\frac{dy}{dt}+\frac{2t}{1+t^2}\,y=\frac{1}{1+t^2}.
Assim identificamos
p(t)=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad q(t)=\frac{1}{1+t^2}.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int\frac{2t}{1+t^2}\,dt\Bigr).
Fazendo a substituição u=1+t^2, du=2t\,dt, obtemos
\mu(t)=\exp\bigl(\ln(1+t^2)\bigr)=1+t^2.

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por \mu(t):
(1+t^2)\frac{dy}{dt} +2t\,y =\frac{1+t^2}{1+t^2} =1.
O lado esquerdo é a derivada exata
\frac{d}{dt}\bigl((1+t^2)\,y\bigr)=1.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
(1+t^2)\,y = \int 1\,dt = t + C,
onde C é constante de integração. Finalmente, isolando y:
y(t)=\frac{t+C}{1+t^2}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(t)=\frac{t+C}{1+t^2},
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados