Considere o conjunto
S=(x, y) in Z times Z mid x^2-4 x sen(pi-y)+4=0
Pode-se afirmar que:
Escolha uma opção:
S é um conjunto vazio.
S possui apenas um elemento.
O Nenhuma das demais alternativas
circ O par (0, pi) in S.
  • S contém a reta x=0
  • S possui infinitos elementos.

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y)in ZtimesZmid x^2 - 4x,sen(pi - y) + 4 = 0
Vamos usar identidade trigonométrica e depois analisar essa equação para inteiros x e y.

Passo 2

Usamos a identidade
sen(pi - y) = sen y,
de modo que a equação vira
x^2 - 4x,sen y + 4 = 0

Passo 3

Verifiquemos primeiro o caso x=0. Substituindo,
0^2 - 4cdot0cdotsen y + 4 = 4 neq 0,
logo não há solução com x=0.

Passo 4

Para xneq0, passamos o termo com sen y para o lado direito:
4x,sen y = x^2 + 4 Longrightarrow sen y = x^2 + 44x

Passo 5

Como sen y está entre -1 e 1, exigimos
-1 <= x^2 + 44x <= 1
Dividimos em dois casos:
  1. Se x>0, multiplicar por 4x>0
    -4x <= x^2+4 <= 4x Longrightarrow (x-2)^2 <= 0
    que só vale para x=2.
  2. Se x<0, multiplicar por 4x<0 inverte os sinais:
    -4x >= x^2+4 >= 4x Longrightarrow (x+2)^2 <= 0
    que só vale para x=-2.

Passo 6

Para x=2 temos
sen y = 2^2+44cdot2 = 1,
e para x=-2
sen y = (-2)^2+44cdot(-2) = -1
Mas sen y = 1 ou -1 exige
y = pi2 + 2kpi ou y = 3pi2 + 2kpi,
o que nunca é um inteiro, pois pi é irracional. Logo não existe yinZ que satisfaça.

Resposta

S é um conjunto vazio.

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