Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial (V,+, \cdot).
V=\mathbb{R}^{3}, munido das operações usuais e W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=y\right. e \left.z=2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y \text{ e } z=2\}
é subespaço de V=\mathbb{R}^3 com as operações usuais. Lembrando que um subconjunto W é subespaço se, e somente se:
  1. O vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0) pertence a W.
  2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.

Passo 2

Verificamos a condição 1: o vetor zero é
\mathbf{0} = (0,0,0).
Para pertencer a W seria preciso ter x=y (ok, 0=0) e z=2. Mas em \mathbf{0} temos z=0\neq2. Logo
\mathbf{0}\notin W.
Como não há o vetor zero em W, podemos concluir imediatamente que W não é subespaço vetorial.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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