Considere o sistema
\left\{\begin{array}{r} x+6 y-8 z=1 \\\\ 2 x+6 y-4 z=0 \end{array}\right.
Note que podemos escrevê-lo na forma matricial
\text { (*) }\left[\begin{array}{lll} 1 & 6 & -8 \\\\ 2 & 6 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right]
a) Verifique que a matriz \mathrm{X}_{1}=\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 \\\ \frac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] é uma solução para o sistema.
b) Resolva o sistema e verifique que toda “matriz-solução” é da forma
\mathbf{X}=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{r} -1 \\\ \frac{1}{3} \\\\ 0 \end{array}\right]
onde \lambda \in R.
c) Verifique
\lambda\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -4 \lambda \\\\ 2 \lambda \\\ \lambda \end{array}\right]
é a solução do sistema homogêneo, associado ao sistema (*),
(* *)\left[\begin{array}{lll} 1 & 6 & -8 \\\\ 2 & 6 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{r} x+6 y-8 z=1 \\\\ 2 x+6 y-4 z=0 \end{array}\right.
escrito em forma matricial como
\text{(*)}\qquad\left[\begin{array}{lll} 1 & 6 & -8 \\\\ 2 & 6 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right].
O enunciado pede três verificações/respostas:
(a) verificar que \displaystyle \mathrm{X}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] é solução do sistema (nota: isso será verificado por substituição);
(b) resolver o sistema e mostrar que toda solução tem a forma
\mathbf{X}=\lambda\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{r} -1 \\\ \frac{1}{3} \\\\ 0 \end{array}\right],\qquad \lambda\in\mathbb{R};
(c) verificar que \lambda\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] é solução do sistema homogêneo associado
(**)\qquad\left[\begin{array}{lll} 1 & 6 & -8 \\\\ 2 & 6 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \end{array}\right].
Isso é tudo o que foi dado / pedido — na próxima etapa eu verifico e resolvo passo a passo.

Passo 2

Como primeiro exercício didático: como verificar se um vetor é solução de um sistema linear? Resposta curta: substituir as coordenadas nas equações e ver se obtém os termos do lado direito. Vou fazer isso para o vetor dado em (a).
Substituindo \displaystyle \mathrm{X}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] nas equações:
Para a primeira equação \;x+6y-8z=1\;:
x+6y-8z = 1 + 6\cdot\frac{1}{3} - 8\cdot 0 = 1 + 2 = 3.
Comparando com o lado direito, que é 1, obtemos 3\neq 1. Portanto \mathrm{X}_{1} como escrito NÃO satisfaz a primeira equação e, consequentemente, NÃO é solução do sistema.
Observação importante (útil para provas): quando uma verificação falha, normalmente há um erro de sinal ou typo no enunciado. Repare que o vetor
\mathrm{X}_{\text{corr}}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right]
faz
-1 + 6\cdot\frac{1}{3} - 8\cdot 0 = -1 + 2 = 1
e
2(-1) + 6\cdot\frac{1}{3} - 4\cdot 0 = -2 + 2 = 0,
logo \mathrm{X}_{\text{corr}} satisfaz as duas equações. Conclusão prática: o vetor correto que aparece também na parte (b) é \left[\begin{array}{c}-1\\tfrac{1}{3}\\\ 0\end{array}\right]. Vou usar esse vetor corretamente verificado como particular ao resolver o sistema.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema de forma sistemática por eliminação de Gauss (método básico que costuma cair em prova). Começamos pela matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 2 & 6 & -4 & 0 \end{array}\right].
Objetivo: zerar a entrada 2\) da segunda linha, primeira coluna. Faço a operação \(\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 2\text{L}_1\): \[\text{L}_2=\big(2,6,-4,0\big)-2\big(1,6,-8,1\big) =(0,-6,12,-2).
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 0 & -6 & 12 & -2 \end{array}\right].
Divido a segunda linha por -6 para simplificar:
\text{L}_2 \leftarrow \frac{1}{-6}\text{L}_2 \quad\Rightarrow\quad \text{L}_2=(0,1,-2,\tfrac{1}{3}).
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & \tfrac{1}{3} \end{array}\right].
Isso corresponde ao sistema equivalente
\begin{cases} x + 6y - 8z = 1,\\[4pt] y - 2z = \tfrac{1}{3}. \end{cases}
Da segunda equação isolamos y\]: \[y = \tfrac{1}{3} + 2z.\] Substituímos na primeira para obter \[x em função de z:
x + 6\!\left(\tfrac{1}{3} + 2z\right) - 8z = 1.
Calculemos passo a passo:
6\left(\tfrac{1}{3}+2z\right)=6\cdot\tfrac{1}{3}+6\cdot 2z=2+12z.
Então
x + (2+12z) - 8z = 1 \quad\Rightarrow\quad x +2 +4z =1.
Isolando x:
x = 1 -2 -4z = -1 -4z.
Agora introduzimos parâmetro para a variável livre z. É comum escolher z=\lambda\in\mathbb{R}. Assim:
\begin{cases} x = -1 -4\lambda,\\[4pt] y = \tfrac{1}{3} + 2\lambda,\\[4pt] z = \lambda. \end{cases}
Escrevendo em forma vetorial:
\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c} x\\[4pt] y\\[4pt] z \end{array}\right] =\lambda\left[\begin{array}{r} -4\\[4pt] 2\\[4pt] 1 \end{array}\right] +\left[\begin{array}{r} -1\\[4pt] \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 \end{array}\right], \qquad \lambda\in\mathbb{R}.
Comentário didático: esta expressão mostra duas coisas importantes para provas:
  • \left[\begin{array}{r}-1\\tfrac{1}{3}\\\ 0\end{array}\right]\] é uma solução particular do sistema não-homogêneo (obtida tomando \(\lambda=0);
  • \left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] é um gerador (vetor base) do espaço das soluções do sistema homogêneo associado. Qualquer solução é combinação linear desse gerador adicionada a uma particular — é a forma padrão do conjunto solução de sistemas lineares com infinitas soluções.]

Passo 4

Verificação de (c): mostrar que \lambda\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] satisfaz o sistema homogêneo (**).
Substituindo x=-4\lambda,\;y=2\lambda,\;z=\lambda nas equações homogêneas:
Primeira equação:
1\cdot(-4\lambda)+6\cdot(2\lambda)-8\cdot(\lambda) =(-4+12-8)\lambda=0\cdot\lambda=0.
Segunda equação:
2\cdot(-4\lambda)+6\cdot(2\lambda)-4\cdot(\lambda) =(-8+12-4)\lambda=0\cdot\lambda=0.
Em ambas obtemos 0, logo \lambda\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] é solução do sistema homogêneo para qualquer \lambda\in\mathbb{R}. Isso confirma que o conjunto solução do homogêneo é \{\lambda[-4,2,1]^\top:\lambda\in\mathbb{R}\}, e o conjunto solução do não-homogêneo é o particular mais esse subespaço, como exibido no passo anterior.

Passo 5

Resumo/checagem final e exemplos numéricos rápidos (útil para prova):
  • Para \lambda=0 obtemos a solução particular \left[\begin{array}{r}-1\\tfrac{1}{3}\\\ 0\end{array}\right].
  • Para \lambda=1 obtemos a solução \left[\begin{array}{r}-5\\tfrac{7}{3}\\\ 1\end{array}\right]; pode-se substituir para checar se quiser (vai satisfazer ambas as equações).
Terminamos: detectamos e corrigi um pequeno typo do enunciado (o vetor em (a) deveria ter primeiro componente -1, não 1), verificamos a solução particular, apresentamos a solução geral por eliminação de Gauss e verificamos a solução do homogêneo.

Resposta

(a) \displaystyle \left[\begin{array}{c}1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] não é solução. O vetor correto que satisfaz o sistema é \displaystyle \left[\begin{array}{c}-1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right].\n
(b) \displaystyle \mathbf{X}=\lambda\left[\begin{array}{r}-4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}-1\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]0\end{array}\right],\\ \lambda\in\mathbb{R}.\n
(c) \displaystyle \lambda\left[\begin{array}{r}-4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-4\lambda\\[4pt]2\lambda\\[4pt]\lambda\end{array}\right] é solução do sistema homogêneo (**) para todo \lambda\in\mathbb{R}.]

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