\text { (*) }\left[\begin{array}{lll} 1 & 6 & -8 \\\\ 2 & 6 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right]
a) Verifique que a matriz \mathrm{X}_{1}=\left[\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1 \\\ \frac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] é uma solução para o sistema.
b) Resolva o sistema e verifique que toda “matriz-solução” é da forma
\mathbf{X}=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 2 \\\\ 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{r} -1 \\\ \frac{1}{3} \\\\ 0 \end{array}\right]
\text{(*)}\qquad\left[\begin{array}{lll} 1 & 6 & -8 \\\\ 2 & 6 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right].
O enunciado pede três verificações/respostas:
(a) verificar que \displaystyle \mathrm{X}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] é solução do sistema (nota: isso será verificado por substituição);
(b) resolver o sistema e mostrar que toda solução tem a forma
(c) verificar que \lambda\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] é solução do sistema homogêneo associado
(**)\qquad\left[\begin{array}{lll} 1 & 6 & -8 \\\\ 2 & 6 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \end{array}\right].
Isso é tudo o que foi dado / pedido — na próxima etapa eu verifico e resolvo passo a passo.
Passo 2
Como primeiro exercício didático: como verificar se um vetor é solução de um sistema linear? Resposta curta: substituir as coordenadas nas equações e ver se obtém os termos do lado direito. Vou fazer isso para o vetor dado em (a).
Substituindo \displaystyle \mathrm{X}_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] nas equações:
Comparando com o lado direito, que é 1, obtemos 3\neq 1. Portanto \mathrm{X}_{1} como escrito NÃO satisfaz a primeira equação e, consequentemente, NÃO é solução do sistema.
Observação importante (útil para provas): quando uma verificação falha, normalmente há um erro de sinal ou typo no enunciado. Repare que o vetor
logo \mathrm{X}_{\text{corr}} satisfaz as duas equações. Conclusão prática: o vetor correto que aparece também na parte (b) é \left[\begin{array}{c}-1\\tfrac{1}{3}\\\ 0\end{array}\right]. Vou usar esse vetor corretamente verificado como particular ao resolver o sistema.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema de forma sistemática por eliminação de Gauss (método básico que costuma cair em prova). Começamos pela matriz aumentada:
Objetivo: zerar a entrada 2\) da segunda linha, primeira coluna. Faço a operação \(\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 2\text{L}_1\):
\[\text{L}_2=\big(2,6,-4,0\big)-2\big(1,6,-8,1\big) =(0,-6,12,-2).
Comentário didático: esta expressão mostra duas coisas importantes para provas:
\left[\begin{array}{r}-1\\tfrac{1}{3}\\\ 0\end{array}\right]\] é uma solução particular do sistema não-homogêneo (obtida tomando \(\lambda=0);
\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] é um gerador (vetor base) do espaço das soluções do sistema homogêneo associado. Qualquer solução é combinação linear desse gerador adicionada a uma particular — é a forma padrão do conjunto solução de sistemas lineares com infinitas soluções.]
Passo 4
Verificação de (c): mostrar que \lambda\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] satisfaz o sistema homogêneo (**).
Substituindo x=-4\lambda,\;y=2\lambda,\;z=\lambda nas equações homogêneas:
Em ambas obtemos 0, logo \lambda\left[\begin{array}{r}-4\\\ 2\\\ 1\end{array}\right] é solução do sistema homogêneo para qualquer \lambda\in\mathbb{R}. Isso confirma que o conjunto solução do homogêneo é \{\lambda[-4,2,1]^\top:\lambda\in\mathbb{R}\}, e o conjunto solução do não-homogêneo é o particular mais esse subespaço, como exibido no passo anterior.
Passo 5
Resumo/checagem final e exemplos numéricos rápidos (útil para prova):
Para \lambda=0 obtemos a solução particular \left[\begin{array}{r}-1\\tfrac{1}{3}\\\ 0\end{array}\right].
Para \lambda=1 obtemos a solução \left[\begin{array}{r}-5\\tfrac{7}{3}\\\ 1\end{array}\right]; pode-se substituir para checar se quiser (vai satisfazer ambas as equações).
Terminamos: detectamos e corrigi um pequeno typo do enunciado (o vetor em (a) deveria ter primeiro componente -1, não 1), verificamos a solução particular, apresentamos a solução geral por eliminação de Gauss e verificamos a solução do homogêneo.
Resposta
(a) \displaystyle \left[\begin{array}{c}1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right] não é solução. O vetor correto que satisfaz o sistema é \displaystyle \left[\begin{array}{c}-1 \\\ \tfrac{1}{3} \\\\ 0\end{array}\right].\n
(c) \displaystyle \lambda\left[\begin{array}{r}-4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-4\lambda\\[4pt]2\lambda\\[4pt]\lambda\end{array}\right] é solução do sistema homogêneo (**) para todo \lambda\in\mathbb{R}.]