Dadas as três retas e de equações: e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas:
Calcule a distância entre o plano e a reta do item anterior.
Passo 1
Estamos com o plano que obtivemos no item anterior, cuja equação é
x - 3y + z + 3 = 0
e a reta r1 de parâmetro t
x = t + 1, y = t - 1, z = 2t
O objetivo é calcular a distância entre essa reta e o plano dado. Para isso, vamos usar a ideia de que, se a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é igual à distância entre dois planos paralelos, sendo um o plano dado e o outro o plano paralelo que contém a reta. A fórmula que usaremos para a distância entre planos
pi1: a x+b y+c z=depi2: a x+b y+c z=d'
é
l|d - d'r|raiza^2+b^2+c^2
Passo 2
Verificamos primeiro se r1 é paralela ao plano x - 3y + z + 3 = 0. A direção de r1 é
mostra que vec vperpvec n, ou seja, r1 é de fato paralela ao plano. Logo, podemos prosseguir usando a distância entre planos paralelos.
Passo 3
Vamos construir o plano pi' paralelo ao dado e que contenha r1. Ele terá o mesmo normal (1,-3,1) e passa por um ponto de r1. Tomemos t=0 em r1, que dá o ponto
l(1,-1,0r)
A equação geral de pi' é
x - 3y + z + D = 0
Substituindo (x,y,z)=(1,-1,0) obtemos
1 - 3cdot(-1) + 0 + D = 0 Longrightarrow 1 + 3 + D = 0Longrightarrow D = -4
Logo,
pi': x - 3y + z - 4 = 0
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da distância entre os planos
pi: x - 3y + z + 3 = 0long<=ftrightarrow x - 3y + z = -3
pi': x - 3y + z - 4 = 0long<=ftrightarrow x - 3y + z = 4