Dadas as três retas r1, r2 e r3 de equações:
r1:=cx=t+1 y=t-1 z=2 t t in R, r2:=cx=s y=s z=2 s-3 s in R e r3:=cx=k-1 y=1 z=-k+1 k in R,
Nos itens a , b e c, diga justificando, qual é a posição relativa e a distância entre as retas. E, se for o caso, qual a sua interseção. Nos cálculos, use somente a fórmula da distância entre os planos a x+b y+c z=d e a x+ b y+c z=d^prime que é |d-d^prime| /|(a, b, c)|. As demais fórmulas devem ser justificadas como foram encontradas:
Calcule a distância entre o plano e a reta do item anterior.

Passo 1

Estamos com o plano que obtivemos no item anterior, cuja equação é
x - 3y + z + 3 = 0
e a reta r1 de parâmetro t
x = t + 1, y = t - 1, z = 2t
O objetivo é calcular a distância entre essa reta e o plano dado. Para isso, vamos usar a ideia de que, se a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é igual à distância entre dois planos paralelos, sendo um o plano dado e o outro o plano paralelo que contém a reta. A fórmula que usaremos para a distância entre planos
pi1: a x+b y+c z=depi2: a x+b y+c z=d'
é
l|d - d'r|raiza^2+b^2+c^2

Passo 2

Verificamos primeiro se r1 é paralela ao plano x - 3y + z + 3 = 0. A direção de r1 é
vec v=(1,1,2)
e o vetor normal do plano é
vec n=(1,-3,1)
O produto escalar
vec vcdotvec n = 1cdot1 + 1cdot(-3) + 2cdot1 = 1 - 3 + 2 = 0
mostra que vec vperpvec n, ou seja, r1 é de fato paralela ao plano. Logo, podemos prosseguir usando a distância entre planos paralelos.

Passo 3

Vamos construir o plano pi' paralelo ao dado e que contenha r1. Ele terá o mesmo normal (1,-3,1) e passa por um ponto de r1. Tomemos t=0 em r1, que dá o ponto
l(1,-1,0r)
A equação geral de pi' é
x - 3y + z + D = 0
Substituindo (x,y,z)=(1,-1,0) obtemos
1 - 3cdot(-1) + 0 + D = 0 Longrightarrow 1 + 3 + D = 0Longrightarrow D = -4
Logo,
pi': x - 3y + z - 4 = 0

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da distância entre os planos
pi: x - 3y + z + 3 = 0long<=ftrightarrow x - 3y + z = -3
pi': x - 3y + z - 4 = 0long<=ftrightarrow x - 3y + z = 4
Temos a=1, b=-3, c=1, d=-3 e d'=4. Assim,
dist = l|-3 - 4r|raiz1^2 + (-3)^2 + 1^2 = 7raiz1 + 9 + 1 = 7raiz11

Resposta

A distância entre a reta r1 e o plano x - 3y + z + 3 = 0 é
boxed7raiz11

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