Considere o conjunto
. Mostre que
NÃ
é um espaço vetorial sobre
, quando munido de cada uma das seguintes operações
:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto
, com as operações dadas, não é um espaço vetorial sobre
. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se todas as propriedades (axiomas) necessárias estão sendo atendidas pelas operações definidas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo
precisa satisfazer várias propriedades (axiomas) relativas à adição de vetores e à multiplicação por escalares. Se qualquer uma dessas propriedades não for satisfeita, então o conjunto não é um espaço vetorial.
Passo 3
As operações dadas são:
Vamos verificar quais axiomas são satisfeitos e quais não são.
Passo 4
O primeiro axioma que geralmente verificamos é a associatividade da adição. No nosso caso:
Então, a associatividade está ok.
Passo 5
Vamos ao elemento neutro da adição. Deve existir um vetor
tal que:
Isso também funciona com as operações dadas.
Passo 6
Agora, o inverso aditivo. Para cada
, deve existir
tal que:
Isso também está satisfatório.
Passo 7
Vamos verificar a distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição vetorial:
Por outro lado:
Comparando as duas expressões:
A não igualdade ocorre porque o segundo componente não está sendo multiplicado por
. Ou seja,
não distribui corretamente sobre a adição no segundo componente.
Passo 8
Como essa propriedade não é satisfeita, já podemos concluir que
não é um espaço vetorial com as operações
e
definidas.
Resposta
Portanto, o conjunto
, com as operações
e
fornecidas, não constitui um espaço vetorial sobre
, já que a distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição vetorial não é válida no segundo componente.