Considere o conjunto V=(x1, x2) ; x1, x2 in R. Mostre que (V,+, cdot) O é um espaço vetorial sobre R, quando munido de cada uma das seguintes operações oplus e odot:
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) e lambda odot(x1, x2)=(lambda x1, x2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto V = (x1, x2) ; x1, x2 in R , com as operações dadas, não é um espaço vetorial sobre R . Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de espaços vetoriais e verificar se todas as propriedades (axiomas) necessárias estão sendo atendidas pelas operações definidas oplus e odot .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo R precisa satisfazer várias propriedades (axiomas) relativas à adição de vetores e à multiplicação por escalares. Se qualquer uma dessas propriedades não for satisfeita, então o conjunto não é um espaço vetorial.

Passo 3

As operações dadas são:
(x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
lambda odot (x1, x2) = (lambda x1, x2)
Vamos verificar quais axiomas são satisfeitos e quais não são.

Passo 4

O primeiro axioma que geralmente verificamos é a associatividade da adição. No nosso caso:
[(x1, x2) oplus (y1, y2)] oplus (z1, z2) = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2)
(x1, x2) oplus [(y1, y2) oplus (z1, z2)] = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2)
Então, a associatividade está ok.

Passo 5

Vamos ao elemento neutro da adição. Deve existir um vetor (0, 0) tal que:
(x1, x2) oplus (0, 0) = (x1, x2)
Isso também funciona com as operações dadas.

Passo 6

Agora, o inverso aditivo. Para cada (x1, x2) , deve existir (-x1, -x2) tal que:
(x1, x2) oplus (-x1, -x2) = (0, 0)
Isso também está satisfatório.

Passo 7

Vamos verificar a distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição vetorial:
lambda odot [(x1, x2) oplus (y1, y2)] = lambda odot (x1 + y1, x2 + y2) = (lambda(x1 + y1), x2 + y2)
Por outro lado:
lambda odot (x1, x2) oplus lambda odot (y1, y2) = (lambda x1, x2) oplus (lambda y1, y2) = (lambda x1 + lambda y1, x2 + y2)
Comparando as duas expressões:
(lambda(x1 + y1), x2 + y2) neq (lambda x1 + lambda y1, x2 + y2)
A não igualdade ocorre porque o segundo componente não está sendo multiplicado por lambda . Ou seja, lambda odot não distribui corretamente sobre a adição no segundo componente.

Passo 8

Como essa propriedade não é satisfeita, já podemos concluir que V não é um espaço vetorial com as operações oplus e odot definidas.

Resposta

Portanto, o conjunto V = (x1, x2) ; x1, x2 in R , com as operações oplus e odot fornecidas, não constitui um espaço vetorial sobre R , já que a distribuição da multiplicação por escalar sobre a adição vetorial não é válida no segundo componente.

Exercícios relacionados