Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
, munido das operações
onde
.
Passo 1
O enunciado define em
as operações
e pede para verificar se
é um espaço vetorial sobre
. Para isso precisamos checar, no mínimo, se
forma um grupo abeliano (soma comutativa, associativa, zero e inverso) e se a multiplicação escalar satisfaz os axiomas de compatibilidade.
Passo 2
Verificamos a comutatividade da soma. Dados
,
enquanto
Como, em geral,
a soma
não é comutativa. Já com isso falha um dos axiomas de espaço vetorial.
Passo 3
Para reforçar, tentemos achar o elemento neutro
tal que para todo
Pelo definition da soma,
Para isso ser
para todo
teríamos o sistema
que implica
e
. Não há
que resolva isso para todo
. Logo não existe elemento neutro aditivo.
Passo 4
Como falha a comutatividade da soma e não existe elemento neutro aditivo,
não satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre
.