Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre R.
V=R^2, munido das operações
(x1, y1) oplus(x2, y2) & =(2 x1-2 y1, y1-x1) alpha odot(x, y) & =(3 alpha x,-alpha x),
onde (x1, y1),(x2, y2),(x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 as operações
(x1,y1)oplus(x2,y2) = (2x1-2y1,;y1-x1), alphaodot(x,y) = (3alpha x,;-alpha x),
e pede para verificar se (V,oplus,odot) é um espaço vetorial sobre R. Para isso precisamos checar, no mínimo, se (V,oplus) forma um grupo abeliano (soma comutativa, associativa, zero e inverso) e se a multiplicação escalar satisfaz os axiomas de compatibilidade.

Passo 2

Verificamos a comutatividade da soma. Dados (x1,y1),(x2,y2)in V,
(x1,y1)oplus(x2,y2) = (2x1-2y1,;y1-x1),
enquanto
(x2,y2)oplus(x1,y1) = (2x2-2y2,;y2-x2)
Como, em geral,
(2x1-2y1,;y1-x1)neq(2x2-2y2,;y2-x2),
a soma oplus não é comutativa. Já com isso falha um dos axiomas de espaço vetorial.

Passo 3

Para reforçar, tentemos achar o elemento neutro e=(e1,e2) tal que para todo (x,y)
(x,y)oplus(e1,e2) = (x,y)
Pelo definition da soma,
(x,y)oplus(e1,e2) = (2x-2y,;y-x)
Para isso ser (x,y) para todo (x,y) teríamos o sistema
2x-2y = x, y-x = y,
que implica x=2y e -x=0. Não há (e1,e2) que resolva isso para todo (x,y). Logo não existe elemento neutro aditivo.

Passo 4

Como falha a comutatividade da soma e não existe elemento neutro aditivo, (V,oplus,odot) não satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto V com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre R.

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