Determine a dimensão do subespaço de gerado pelos vetores:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos três vetores em : , e . O objetivo é determinar a dimensão do subespaço gerado por esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como dependência linear e rank de matrizes.
Passo 2
Primeiro, colocamos os vetores em uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
Passo 3
Nosso próximo passo é reduzir essa matriz para a forma de escada usando operações elementares. Isso nos ajudará a identificar quais colunas são linearmente independentes.
Passo 4
Começamos com a primeira coluna. Já temos um 1 no topo, então usamos esse pivô para eliminar os elementos abaixo dele.
R2 = R2 + 2R1 R3 = R3 - 2R1
Após essas operações, a matriz fica:
A = 1 & 2 & -3 0 & 2 & -3 0 & 0 & 12
Passo 5
Agora, olhamos para a segunda coluna. O pivô aqui é o 2 na posição (2,2). Usamos esse pivô para eliminar o elemento abaixo dele.
R3 = R3 - 0R2 (já está zero) áá
A matriz permanece:
A = 1 & 2 & -3 0 & 2 & -3 0 & 0 & 12
Passo 6
Finalmente, observamos que cada coluna tem um pivô não nulo. Isso indica que os três vetores são linearmente independentes.
Resposta
A dimensão do subespaço gerado pelos vetores (1,-2,2), (2,-2,4) e (-3,3,6) em R^3 é 3.