Determine a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores:
(1,-2,2),(2,-2,4),(-3,3,6)

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos três vetores em R^3: (1,-2,2), (2,-2,4) e (-3,3,6). O objetivo é determinar a dimensão do subespaço gerado por esses vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como dependência linear e rank de matrizes.

Passo 2

Primeiro, colocamos os vetores em uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
A = 1 & 2 & -3 -2 & -2 & 3 2 & 4 & 6

Passo 3

Nosso próximo passo é reduzir essa matriz para a forma de escada usando operações elementares. Isso nos ajudará a identificar quais colunas são linearmente independentes.

Passo 4

Começamos com a primeira coluna. Já temos um 1 no topo, então usamos esse pivô para eliminar os elementos abaixo dele.
R2 = R2 + 2R1 R3 = R3 - 2R1
Após essas operações, a matriz fica:
A = 1 & 2 & -3 0 & 2 & -3 0 & 0 & 12

Passo 5

Agora, olhamos para a segunda coluna. O pivô aqui é o 2 na posição (2,2). Usamos esse pivô para eliminar o elemento abaixo dele.
R3 = R3 - 0R2 (já está zero) áá
A matriz permanece:
A = 1 & 2 & -3 0 & 2 & -3 0 & 0 & 12

Passo 6

Finalmente, observamos que cada coluna tem um pivô não nulo. Isso indica que os três vetores são linearmente independentes.

Resposta

A dimensão do subespaço gerado pelos vetores (1,-2,2), (2,-2,4) e (-3,3,6) em R^3 é 3.

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