Determine a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores:
(1,-3,4),(6,2,-1),(2,-2,3),(-4,-8,9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores (1, -3, 4), (6, 2, -1), (2, -2, 3) e (-4, -8, 9). Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e linearmente independentes para descobrir quantos desses vetores realmente contribuem para formar esse subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
1 & 6 & 2 & -4 -3 & 2 & -2 & -8 4 & -1 & 3 & 9
Essa matriz vai nos ajudar a visualizar e manipular os vetores para descobrir quantos deles são linearmente independentes.

Passo 3

Para encontrar a dimensão do subespaço gerado por esses vetores, precisamos determinar o posto da matriz, que corresponde ao número de colunas líderes após colocá-la em forma escalonada. Vamos usar operações de linha para simplificar a matriz.
Primeiro, vamos usar a primeira linha ( R1) para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da coluna:
  • R2' = R2 + 3 times R1
  • R3' = R3 - 4 times R1
Aplicando essas operações:
1 & 6 & 2 & -4 0 & 20 & 4 & -20 0 & -25 & -5 & 25

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Usando a segunda linha ( R2), vamos eliminar o elemento abaixo dela na mesma coluna:
  • R3' = R3 + 2520 times R2 = R3 + 1.25 times R2
Aplicando essa operação:
1 & 6 & 2 & -4 0 & 20 & 4 & -20 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Chegamos à forma escalonada da matriz. Observamos que só temos duas linhas com elementos diferentes de zero. Isso significa que existem dois vetores linearmente independentes nesse conjunto.

Resposta

A dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores fornecidos é 2.

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