Determine a dimensão do subespaço de gerado pelos vetores:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a dimensão do subespaço de gerado pelos vetores , , e . Vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e linearmente independentes para descobrir quantos desses vetores realmente contribuem para formar esse subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
Essa matriz vai nos ajudar a visualizar e manipular os vetores para descobrir quantos deles são linearmente independentes.
Passo 3
Para encontrar a dimensão do subespaço gerado por esses vetores, precisamos determinar o posto da matriz, que corresponde ao número de colunas líderes após colocá-la em forma escalonada. Vamos usar operações de linha para simplificar a matriz.
Primeiro, vamos usar a primeira linha (R1) para eliminar os elementos abaixo do primeiro elemento da coluna:
R2' = R2 + 3 times R1
R3' = R3 - 4 times R1
Aplicando essas operações:
1 & 6 & 2 & -4 0 & 20 & 4 & -20 0 & -25 & -5 & 25
Passo 4
Agora, vamos focar na segunda coluna. Usando a segunda linha (R2), vamos eliminar o elemento abaixo dela na mesma coluna:
R3' = R3 + 2520 times R2 = R3 + 1.25 times R2
Aplicando essa operação:
1 & 6 & 2 & -4 0 & 20 & 4 & -20 0 & 0 & 0 & 0
Passo 5
Chegamos à forma escalonada da matriz. Observamos que só temos duas linhas com elementos diferentes de zero. Isso significa que existem dois vetores linearmente independentes nesse conjunto.
Resposta
A dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores fornecidos é 2.