Considere conjunto de vetores LI :
Determine se o conjunto é LI ou LD.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão nos dá um conjunto de vetores que são linearmente independentes (LI) e pede para verificarmos se outro conjunto formado por combinações desses vetores, ou seja, , também é LI ou se é linearmente dependente (LD). Vamos precisar entender o que significa vetores serem LI ou LD e como testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se só tiver a solução , então os vetores são LI. Se existir alguma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são LD.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso conjunto de vetores . Precisamos encontrar se existem escalares , e tais que:
Passo 4
Vamos expandir essa combinação:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Como sabemos que é um conjunto LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero para que a combinação dê o vetor zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação: c = 5b
Substituindo c na segunda equação: -3a - 4(5b) = 0 Rightarrow -3a - 20b = 0 Rightarrow 3a = -20b Rightarrow a = -203b
Agora, substituindo a e c na primeira equação: 2(-203b) - 3b + 5b = 0 Rightarrow -403b - 3b + 5b = 0 Rightarrow -403b + 2b = 0 Rightarrow -343b = 0 Rightarrow b = 0
Então, se b = 0, temos c = 0 e a = 0.
Resposta
Como a única solução é a = b = c = 0, o conjunto 2 u-3 v,, -3 u+5 w,, u-4 v-w é linearmente independente (LI).