Considere u, v, w conjunto de vetores LI :
Determine se o conjunto 2 u-3 v,-3 u+5 w, u-4 v-w é LI ou LD.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A questão nos dá um conjunto de vetores u, v, w que são linearmente independentes (LI) e pede para verificarmos se outro conjunto formado por combinações desses vetores, ou seja, 2 u-3 v,, -3 u+5 w,, u-4 v-w, também é LI ou se é linearmente dependente (LD). Vamos precisar entender o que significa vetores serem LI ou LD e como testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a v1 + b v2 + c v3 = 0 só tiver a solução a = b = c = 0, então os vetores são LI. Se existir alguma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são LD.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso conjunto de vetores 2 u-3 v,, -3 u+5 w,, u-4 v-w. Precisamos encontrar se existem escalares a, b e c tais que:
a(2 u - 3 v) + b(-3 u + 5 w) + c(u - 4 v - w) = 0

Passo 4

Vamos expandir essa combinação:
2a u - 3a v - 3b u + 5b w + c u - 4c v - c w = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(2a - 3b + c)u + (-3a - 4c)v + (5b - c)w = 0

Passo 5

Como sabemos que u, v, w é um conjunto LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero para que a combinação dê o vetor zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
2a - 3b + c = 0 -3a - 4c = 0 5b - c = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação: c = 5b
Substituindo c na segunda equação:
-3a - 4(5b) = 0 Rightarrow -3a - 20b = 0 Rightarrow 3a = -20b Rightarrow a = -203b
Agora, substituindo a e c na primeira equação:
2(-203b) - 3b + 5b = 0 Rightarrow -403b - 3b + 5b = 0 Rightarrow -403b + 2b = 0 Rightarrow -343b = 0 Rightarrow b = 0
Então, se b = 0, temos c = 0 e a = 0.

Resposta

Como a única solução é a = b = c = 0, o conjunto 2 u-3 v,, -3 u+5 w,, u-4 v-w é linearmente independente (LI).

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