Considere u, v, w conjunto de vetores LI :
Determine o valor de lambda para que a, b seja LD, onde
a=lambda cdot u+v+lambda cdot w e b=u+lambda cdot v+w

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores u,v,w linearmente independentes e define
a = lambda,u + v + lambda,w, b = u + lambda,v + w
Queremos encontrar lambda tal que a,b seja linearmente dependente.
Conteúdo: critério de dependência linear (existe combinação não trivial que zera o vetor).

Passo 2

Para a,b ser LD, devem existir escalares alpha,beta, não ambos nulos, tais que
alpha,a + beta,b = 0
Substituindo a e b:
alpha(lambda,u + v + lambda,w) + beta(u + lambda,v + w) = 0

Passo 3

Agrupando pelos vetores u,v,w e usando independência de u,v,w, as somas devem anular cada coeficiente:
alphalambda + beta = 0, alpha + betalambda = 0, alphalambda + beta = 0
Repare que a primeira e a terceira são idênticas, sobrando efetivamente duas equações.

Passo 4

Da primeira equação vem beta = -alphalambda. Substituindo na segunda:
alpha + (-alphalambda),lambda = 0 ;Longrightarrow; alpha,(1 - lambda^2) = 0
Para existir solução não trivial ( alphaneq0), precisamos de
1 - lambda^2 = 0 ;Longrightarrow; lambda^2 = 1

Passo 5

Temos lambda = pm 1. Nesses valores surge solução (alpha,beta)neq(0,0) e, portanto, a e b ficam colineares (LD).

Resposta

lambda = 1 ou lambda = -1.

Exercícios relacionados