Determine os valores de h e k para que o sistema tenha:
K=0
uma única solução;
r x+y=1 x+2 y+k z=h 3 x+y+k^2 z=9

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
x+y=1, x+2y+kz=h, 3x+y+k^2z=9,
e pede para encontrar as condições em k (e em h, quando couber) para que o sistema tenha (i) determinante zero e (ii) solução única. Vamos usar cálculo do determinante da matriz dos coeficientes e o critério de Cramer.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante
A= 1&1&0 1&2&k 3&1&k^2 ,
det(A) =1cdotl(2cdot k^2 - kcdot1r) -1cdotl(1cdot k^2 - kcdot3r) +0cdot(cdots)
Fazendo as contas,
det(A) =2k^2 - k - (k^2 -3k) =2k^2 - k - k^2 +3k =k^2 +2k =k,(k+2)

Passo 3

Para ter determinante zero, basta que
k,(k+2)=0,
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k=0 ou k=-2

Passo 4

O sistema tem solução única exatamente quando det(A)neq0. Assim,
det(A)neq0 ;Long<=ftrightarrow; kneq0e kneq-2
Nesse caso o valor de h pode ser qualquer número real e ainda teremos solução única (pois Cramer vale para todo h).

Resposta

Para det(A)=0: k=0 ou k=-2.
Para solução única: kneq0 e kneq-2 (qualquer h).

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