Considere o conjunto de vetores linearmente independentes X=x 1, x 2, x 3, x 4.
Determine o vetor de coordenadas (z) U de um dado vetor z em relação à base U. z=(5,1,4,-1)
x 1 = (-1/2, 2/5, 1/2, 1)
x 2=(0,5 / 3,2 / 5,-3 / 4)
x 3=(1,-4 / 3,0,0)
x 4=(0,0,-1 / 2,2)

Passo 1

O enunciado pede o vetor de coordenadas de z=(5,1,4,-1) na base
U=x1,x2,x3,x4,
onde
x1=l(-tfrac12,tfrac25,tfrac12,1r), x2=l(0,tfrac53,tfrac25,-tfrac34r), x3=l(1,-tfrac43,0,0r), x4=l(0,0,-tfrac12,2r)
Isso equivale a resolver o sistema linear
z = u1x1+u2x2+u3x3+u4x4
para encontrar (u1,u2,u3,u4).

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando componentes, obtemos
u1l(-tfrac12,tfrac25,tfrac12,1r) +u2l(0,tfrac53,tfrac25,-tfrac34r) +u3l(1,-tfrac43,0,0r) +u4l(0,0,-tfrac12,2r) =(5,1,4,-1),
isto é, o sistema
-tfrac12,u1+u3=5,[6pt] tfrac25,u1+tfrac53,u2-tfrac43,u3=1,[6pt] tfrac12,u1+tfrac25,u2-tfrac12,u4=4,[6pt] u1-tfrac34,u2+2,u4=-1 ]

Passo 3

Da primeira equação isolamos
u3=5+tfrac12,u1

Passo 4

Substituindo u3 em tfrac25u1+tfrac53u2-tfrac43u3=1 e multiplicando por 15, achamos
-4,u1+25,u2=115 Longrightarrow u2=115+4,u125

Passo 5

Da última equação u1-tfrac34,u2+2u4=-1 isolamos
u4=-1 - u1 + tfrac34,u22

Passo 6

Substituímos u2 e u4 em tfrac12u1+tfrac25u2-tfrac12u4=4, limpando denominadores e resolvendo, obtemos
u1=55451568

Passo 7

Retro-substituindo em u2=(115+4u1)/25, u3=5+tfrac12u1 e na expressão de u4, resulta
u2=2025392, u3=212253136, u4=-5191568

Resposta

[z]U=l(u1,u2,u3,u4r) =l(tfrac55451568,;tfrac2025392,;tfrac212253136,;-tfrac5191568r)

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