Considere o conjunto de vetores linearmente independentes X=x 1, x 2, x 3, x 4.
Utilize o método de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal U=u^wed>= 1, u^wed>= 2, u^wed>= 3, u^ 4 a partir de X.
x 1 = (-1/2, 2/5, 1/2, 1)
x 2=(0,5 / 3,2 / 5,-3 / 4)
x 3=(1,-4 / 3,0,0)
x 4=(0,0,-1 / 2,2)

Passo 1

Temos quatro vetores linearmente independentes em R^4:
x1 = l(-tfrac12,;tfrac25,;tfrac12,;1r), x2 = l(0,;tfrac53,;tfrac25,;-tfrac34r), x3 = l(1,;-tfrac43,;0,;0r), x4 = l(0,;0,;-tfrac12,;2r)
Queremos aplicar o processo de Gram–Schmidt para achar vetores ortogonais
v1,v2,v3,v4 e depois normaliz’a-los, obtendo a base ortonormal
u1,u2,u3,u4.

Passo 2

Definimos
v1 = x1, u1 = v1|v1|,
onde
|v1| = raizl(-tfrac12r)^2 + l(tfrac25r)^2 + l(tfrac12r)^2 + 1^2 = raiztfrac8350approx 1,288
Logo, em valor aproximado decimal,
u1 approx (-0,388,;0,311,;0,388,;0,776)

Passo 3

Calculamos
v2 = x2 - lang<= x2,u1rang<=,u1, u2 = v2|v2|
Em aproximação decimal obtemos
lang<= x2,u1rang<= approx 0,0917, v2 approx (0,0356,;1,6382,;0,3644,;-0,8212),
|v2|approx1,869, e portanto
u2 approx (0,019,;0,876,;0,195,;-0,440)

Passo 4

Agora
v3 = x3 - lang<= x3,u1rang<=,u1 - lang<= x3,u2rang<=,u2, u3 = v3|v3|
Em valores aproximados:
lang<= x3,u1rang<=approx -0,8027, lang<= x3,u2rang<=approx -1,1497,
v3approx(0,7108,;-0,0763,;0,536,;0,118), |v3|approx0,901,
u3approx(0,789,;-0,085,;0,595,;0,131)

Passo 5

Finalmente
v4 = x4 - lang<= x4,u1rang<=,u1 - lang<= x4,u2rang<=,u2 - lang<= x4,u3rang<=,u3, u4 = v4|v4|
Em aproximação decimal achamos
lang<= x4,u1rang<=approx1,358, lang<= x4,u2rang<=approx-0,9765, lang<= x4,u3rang<=approx-0,035,
v4approx(0,5731,;0,430,;-0,815,;0,520), |v4|approx1,203,
u4approx(0,476,;0,358,;-0,678,;0,432)

Resposta

Uma base ortonormal aproximada é
u1 approx (-0,388,;0,311,;0,388,;0,776), u2 approx (0,019,;0,876,;0,195,;-0,440),
u3 approx (0,789,;-0,085,;0,595,;0,131), u4 approx (0,476,;0,358,;-0,678,;0,432)

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