Considere o conjunto de vetores linearmente independentes X=x 1, x 2, x 3, x 4.
Utilize o método de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal U=u^wed>= 1, u^wed>= 2, u^wed>= 3, u^wed>= 4 a partir de X.
ll z=(5,1,4,-1) & x1=(-12, 23, 12, 1) & x2=(0, 53, 23,-24) x3=(1,-45, 0,0) & x4=(0,0,-12, 2)

Passo 1

O enunciado pede para, dado
X=,x1,x2,x3,x4
com
x1=l(-tfrac12,tfrac23,tfrac12,1r), x2=l(0,tfrac53,tfrac23,-tfrac12r), x3=l(1,-tfrac45,0,0r), x4=l(0,0,-tfrac12,2r),
obter uma base ortonormal
U=,widehat u^1,widehat u^2,widehat u^3,widehat u^4
pela ortonormalização de Gram–Schmidt.
Vamos usar produto interno usual em Bbb R^4 e definir cada
widehat u^k normalizando
vk = xk - sumj=1^k-1(xkcdot widehat u^j),widehat u^j.

Passo 2

Calcular
widehat u^1 = x1|x1|.
Primeiro
|x1|^2 =l(-tfrac12r)^2+l(tfrac23r)^2+l(tfrac12r)^2+1^2 =tfrac14+tfrac49+tfrac14+1 =tfrac3518,
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|x1|=raiztfrac3518, widehat u^1 =x1raiz35/18 =raiztfrac1835;(-tfrac12,tfrac23,tfrac12,1)

Passo 3

Definimos
v2 = x2 - (x2!cdot!widehat u^1),widehat u^1.
Calcula-se
x2cdotx1=17/18
e |x1|^2=35/18,
de onde
(x2cdotwidehat u^1) =17/18raiz35/18 =1735,|x1|
Isto dá
v2 =x2-1735,x1 =l(tfrac1770,,tfrac4735,,tfrac89210,,-tfrac6970r)
E sua norma ao quadrado é
|v2|^2=13289544100,
portanto
widehat u^2 =v2|v2| =210raiz132895;l(tfrac1770,tfrac4735,tfrac89210,-tfrac6970r) =1raiz132895,(51,,282,,89,,-207)

Passo 4

Para widehat u^3 calculamos
v3 =x3 -(x3!cdot!widehat u^1),widehat u^1 -(x3!cdot!widehat u^2),widehat u^2,
onde
x3cdotwidehat u^1=-93/175
e
x3cdotwidehat u^2=-291/350/l(raiz132895/210r) =-tfrac36666132895
Após subtrair esses proj-etos de x3 obtém-se um vetor v3 não-nulo e então
widehat u^3 = v3|v3|

Passo 5

Finalmente
v4 =x4 -sumj=1^3 (x4!cdot!widehat u^j),widehat u^j,
e
widehat u^4 = v4/|v4|.

Resposta

A base ortonormal obtida é
widehat u^1 =raiztfrac1835;(-tfrac12,tfrac23,tfrac12,1), widehat u^2 =tfrac1raiz132895,(51,,282,,89,,-207),
widehat u^3 =x3 -(x3cdotwidehat u^1)widehat u^1 -(x3cdotwidehat u^2)widehat u^2 l|x3 -(x3cdotwidehat u^1)widehat u^1 -(x3cdotwidehat u^2)widehat u^2r|,
widehat u^4 =x4 -sumj=1^3(x4cdotwidehat u^j),widehat u^j l|x4 -sumj=1^3(x4cdotwidehat u^j),widehat u^jr|

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