Sejam u=(m,-1, m^2+1), v=(m^2+1, m, 0) e w=(m, 1,1). Mostre que C=u, v, w é uma base de V^3, independentemente do valor de m.

Passo 1

Queremos mostrar que C=vec u,vec v,vec wsubset V^3 é base, isto é, que esses três vetores são linearmente independentes. Como dim(V^3)=3, basta verificar que o determinante da matriz cujas colunas são vec u,vec v,vec w é diferente de zero para todo valor de m.

Passo 2

Escrevemos a matriz A cujas colunas são vec u=(m,-1,m^2+1), vec v=(m^2+1,m,0) e vec w=(m,1,1):
A = m & m^2+1 & m -1 & m & 1 m^2+1 & 0 & 1

Passo 3

Pelo critério de independência em R^3, C é base se e somente se det(A)neq0. Vamos calcular det(A) expandindo pela primeira linha:
det(A) = mdetm & 1 0 & 1 - (m^2+1)det-1 & 1 m^2+1 & 1 + mdet-1 & m m^2+1 & 0

Passo 4

Calculamos cada menor:
Substituindo em :
Agrupando,

Passo 5

Observe que para todo minR temos
3m^2+2 > 0,
portanto det(A)neq0. Logo vec u,vec v,vec w são linearmente independentes e formam uma base de V^3 para qualquer valor de m.

Resposta

Os vetores vec u,vec v,vec w formam uma base de V^3 para todo m, pois det(A)=3m^2+2neq0.

Exercícios relacionados