Considere o conjunto de vetores X=\{(1,0,-1),(-2,1,0),(1,1,3)\}.
(a) Mostre que o conjunto X é linearmente independente e uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} a partir da base \boldsymbol{X}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores
v_{1}=(1,0,-1),\quad v_{2}=(-2,1,0),\quad v_{3}=(1,1,3)
em \mathbb{R}^{3} e pede:
(a) mostrar que X=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente independente e, como são três vetores em \mathbb{R}^{3}, concluir que é base;
(b) aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal do mesmo espaço.
Conteúdo usado: determinante para independência linear, dimensionamento de espaço vetorial e ortogonalização de Gram–Schmidt com produto interno usual.

Passo 2

Para (a), colocamos v_{1},v_{2},v_{3} como colunas de uma matriz A.
A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -1& 0 & 3 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante de A:
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1& 3\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1& 0\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix}=3,\quad \det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1& 3\end{pmatrix}=0-(-1)=1,\quad \det\begin{pmatrix}0 & 1\\\ -1& 0\end{pmatrix}=0-(-1)=1,
logo
\det A=1\cdot3+2\cdot1+1\cdot1=6\neq0.

Passo 3

Como \det A\neq0, os vetores são linearmente independentes. Além disso são três vetores em \mathbb{R}^{3}, logo formam uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Para (b), iniciamos o processo de Gram–Schmidt. Definimos
u_{1}=v_{1}=(1,0,-1),\quad e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|},\quad \|u_{1}\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
Portanto
e_{1}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\,0,\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 5

Calculamos
u_{2} =v_{2}-\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}\,u_{1}, \quad \langle v_{2},u_{1}\rangle=(-2)\cdot1+1\cdot0+0\cdot(-1)=-2, \quad \langle u_{1},u_{1}\rangle=2.
Então
u_{2} =(-2,1,0)-\frac{-2}{2}(1,0,-1) =(-2,1,0)-(-1,0,1) =(-1,1,-1).
A norma é
\|u_{2}\|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{3},
e
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|} =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},\,\tfrac{1}{\sqrt3},\,-\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr).

Passo 6

Por fim,
u_{3} =v_{3} -\frac{\langle v_{3},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1} -\frac{\langle v_{3},u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}u_{2}.
Calculamos
\langle v_{3},u_{1}\rangle =1\cdot1+1\cdot0+3\cdot(-1)=-2, \quad \langle v_{3},u_{2}\rangle =1\cdot(-1)+1\cdot1+3\cdot(-1)=-3,
e já temos \langle u_{1},u_{1}\rangle=2, \langle u_{2},u_{2}\rangle=3. Assim
u_{3} =(1,1,3) -\frac{-2}{2}(1,0,-1) -\frac{-3}{3}(-1,1,-1).
Ou seja, as projeções somam (0,-1,2) e
u_{3}=(1,1,3)-(0,-1,2)=(1,2,1), \quad \|u_{3}\|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6},
logo
e_{3}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt6},\,\tfrac{2}{\sqrt6},\,\tfrac{1}{\sqrt6}\Bigr).

Resposta

Uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} obtida é
e_{1}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\,0,\,-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr),\quad e_{2}=\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt3},\,\tfrac{1}{\sqrt3},\,-\tfrac{1}{\sqrt3}\Bigr),\quad e_{3}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt6},\,\tfrac{2}{\sqrt6},\,\tfrac{1}{\sqrt6}\Bigr).

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