Questão 2: Guaxinins e esquilos habitam o mesmo ecossistema e competem entre sí por comida, água e espaço. Denote por
e
as populações e guaxinins e esquilos respectivamente ao longo do tempo. A taxa de variação dessas populações enquanto dividindo esse mesmo ecossistema é dada por:
Supondo que
e
, siga os passo abaixo para resolver o sistema (1) acima.
a) Exiba a matriz do sistema;
b) Calcule o polinômio característico da matriz do item anterior e resolva o sistema associado;
c) Calcule os autoespaços da matriz obtida no item a) e obtenha a solução geral do sistema (1);
d) O que acontece com a população de guaxinins no longo prazo?
a) Exiba a matriz do sistema;
b) Calcule o polinômio característico da matriz do item anterior e resolva o sistema associado;
c) Calcule os autoespaços da matriz obtida no item a) e obtenha a solução geral do sistema (1);
d) O que acontece com a população de guaxinins no longo prazo?
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear de EDOs que modela a interação de populações de guaxinins
com condições iniciais
.
O conteúdo é resolução de sistema linear via forma matricial, cálculo de autovalores, autovetores, solução geral e comportamento assintótico.
Passo 2
Escrevendo o sistema em forma matricial
, onde
, obtemos
Passo 3
Buscamos o polinômio característico
:
Expandindo,
As raízes são
Passo 4
Para cada
achamos o autovetor não‐nulo:
-
:
Escolhemos
.
-
:
Escolhemos
.
Assim, a solução geral do sistema é
]
Passo 5
Impondo
cuja solução é
. Logo
Passo 6
No longo prazo,
domina
. Como o coeficiente de
em
é negativo,
isto é,
. Em termos biológicos, a população de guaxinins decai até a extinção.
Resposta
a)
b)
c)
Autovetores e
.
Solução geral com condições iniciais:
Autovetores
Solução geral com condições iniciais:
d) A população de guaxinins tende a
(biologicamente, decai até a extinção).]