Questão 2: Guaxinins e esquilos habitam o mesmo ecossistema e competem entre sí por comida, água e espaço. Denote por g(t) e s(t) as populações e guaxinins e esquilos respectivamente ao longo do tempo. A taxa de variação dessas populações enquanto dividindo esse mesmo ecossistema é dada por:
\begin{array}{rc} g^{\prime}(t) & =2,5 g(t)-s(t) \\\ s^{\prime}(t) & =-0,25 g(t)+2,5 s(t) . \end{array}
Supondo que g(0)=60 e e(0)=60, siga os passo abaixo para resolver o sistema (1) acima.
a) Exiba a matriz do sistema;
b) Calcule o polinômio característico da matriz do item anterior e resolva o sistema associado;
c) Calcule os autoespaços da matriz obtida no item a) e obtenha a solução geral do sistema (1);
d) O que acontece com a população de guaxinins no longo prazo?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de EDOs que modela a interação de populações de guaxinins g(t)\) e esquilos \(s(t)\): \[\begin{cases} g'(t)=2,5\,g(t)-s(t),\\\ s'(t)=-0,25\,g(t)+2,5\,s(t), \end{cases}
com condições iniciais g(0)=60\] e \(s(0)=60.
O conteúdo é resolução de sistema linear via forma matricial, cálculo de autovalores, autovetores, solução geral e comportamento assintótico.

Passo 2

Escrevendo o sistema em forma matricial \mathbf x' = A\mathbf x, onde \mathbf x(t)=(g(t),s(t))^T, obtemos
A=\begin{pmatrix} 2{,}5 & -1\\[6pt] -0{,}25 & 2{,}5 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Buscamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0:
\det\!\begin{pmatrix} 2{,}5-\lambda & -1\\[3pt] -0{,}25 & 2{,}5-\lambda \end{pmatrix} =(2{,}5-\lambda)^2 - ( -1)(-0{,}25 ) =(2{,}5-\lambda)^2 -0{,}25.
Expandindo,
(2{,}5-\lambda)^2-0{,}25 =\lambda^2 -5\lambda +6=0.
As raízes são
\lambda_{1}=3, \quad \lambda_{2}=2.]

Passo 4

Para cada \lambda achamos o autovetor não‐nulo:
  1. \lambda_{1}=3:
(A-3I)\!v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}-0{,}5 & -1\\[3pt]-0{,}25 & -0{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;y=-0{,}5\,x.
Escolhemos v_{1}=(2,-1)^T.
  1. \lambda_{2}=2:
(A-2I)\!v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}0{,}5 & -1\\[3pt]-0{,}25 & 0{,}5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\;y=0{,}5\,x.
Escolhemos v_{2}=(2,1)^T.
Assim, a solução geral do sistema é
\begin{pmatrix}g(t)\s(t)\end{pmatrix} =C_{1}\,v_{1}e^{3t}+C_{2}\,v_{2}e^{2t} =C_{1}\begin{pmatrix}2\\\ -1\end{pmatrix}e^{3t} +C_{2}\begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}e^{2t}.]

Passo 5

Impondo g(0)=60\), \(s(0)=60\) em \(\bigl[g(0),s(0)\bigr]^{T} =C_{1}\bigl[2,-1\bigr]^{T}+C_{2}\bigl[2,1\bigr]^{T}\), temos \[\begin{cases} 2C_{1}+2C_{2}=60,\\\\ -\,C_{1}+C_{2}=60, \end{cases}
cuja solução é C_{1}=-15\], \(C_{2}=45. Logo
g(t)=-30\,e^{3t}+90\,e^{2t}, \quad s(t)=15\,e^{3t}+45\,e^{2t}.

Passo 6

No longo prazo, e^{3t} domina e^{2t}. Como o coeficiente de e^{3t} em g(t) é negativo,
g(t)\sim -30\,e^{3t}\quad\text{quando }t\to\infty,
isto é, g(t)\to -\infty. Em termos biológicos, a população de guaxinins decai até a extinção.

Resposta

a)
A=\begin{pmatrix} 2{,}5 & -1\\[3pt] -0{,}25 & 2{,}5 \end{pmatrix}.
b)
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-5\lambda+6=0 \;\Longrightarrow\; \lambda_{1}=3,\;\lambda_{2}=2.
c)
Autovetores v_{1}=(2,-1)^T e v_{2}=(2,1)^T.
Solução geral com condições iniciais:
g(t)=-30\,e^{3t}+90\,e^{2t}, \quad s(t)=15\,e^{3t}+45\,e^{2t}.
d) A população de guaxinins tende a -\infty (biologicamente, decai até a extinção).]

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