(Questão 01)[3,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) Se r \perp \pi, então d(r, \pi)=0.
( ) Se [\overrightarrow{A B}, \vec{r}, \vec{s}]=0, então r: X=A+\lambda \vec{r} e s: X=B+\lambda \vec{s} são concorrentes.
( ) r \cap s=\emptyset \Rightarrow \operatorname{ang}(r, s) \neq 0.
( ) \operatorname{Se}(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LI, então [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=[\vec{w}, \vec{u}, \vec{v}].
( ) \operatorname{sen}(\operatorname{ang}(r, \pi))=0 \Leftrightarrow(r / / \pi \quad ou \quad r \subset \pi).
( ) Se (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LI, então [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]>0.

Passo 1

O enunciado apresenta seis afirmações sobre geometria no espaço e produto misto, pedindo que marquemos cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar propriedades de distância entre reta e plano, produto misto (determinante/triple product), ângulo entre retas e entre reta e plano, e independência linear e orientação de vetores.

Passo 2

Afirmação 1: “Se r \perp \pi, então d(r,\pi)=0.”
Uma reta perpendicular a um plano atravessa o plano em um ponto, logo sua distância ao plano (mínima distância entre pontos de r e \pi) é zero.
Conclusão: verdadeira.

Passo 3

Afirmação 2: “Se [\overrightarrow{AB},\vec r,\vec s]=0, então as retas r:X=A+\lambda\vec r e s:X=B+\mu\vec s são concorrentes.”
[\overrightarrow{AB},\vec r,\vec s]=0 implica que \overrightarrow{AB} está no plano gerado por \vec r,\vec s. Nesse caso sempre existe solução de
A+\lambda\vec r = B+\mu\vec s
portanto as retas se interceptam (mesmo se \vec r\parallel\vec s, aí coincidem).
Conclusão: verdadeira.

Passo 4

Afirmação 3: “ r\cap s=\emptyset\Rightarrow\ang(r,s)\neq0.”
Reta e reta paralelas distintas não se intersectam e têm ângulo zero. Portanto não é verdade que linhas não concorrentes têm sempre ângulo não nulo.
Conclusão: falsa.

Passo 5

Afirmação 4: “Se (\vec u,\vec v,\vec w) é LI, então [\vec u,\vec v,\vec w]=[\vec w,\vec u,\vec v].”
O produto misto é invariante sob permutações cíclicas dos vetores.
Conclusão: verdadeira.

Passo 6

Afirmação 5: “ \operatorname{sen}(\ang(r,\pi))=0\Leftrightarrow(r\parallel\pi\\ \text{ou}\\ r\subset\pi).”
O ângulo entre reta e plano é zero exatamente quando a reta é paralela ao plano (seja contida ou não). Então seu seno é zero nessas e somente nessas situações.
Conclusão: verdadeira.

Passo 7

Afirmação 6: “Se (\vec u,\vec v,\vec w) é LI, então [\vec u,\vec v,\vec w]>0.”
A independência linear garante [\vec u,\vec v,\vec w]\neq0, mas o sinal pode ser positivo ou negativo, conforme a orientação.
Conclusão: falsa.

Resposta

  1. \mathbf{V}
  2. \mathbf{V}
  3. \mathbf{F}
  4. \mathbf{V}
  5. \mathbf{V}
  6. \mathbf{F}

Exercícios relacionados