(a) Encontre os autovalores e os autovetores reais das matrizes A e B.
(b) Encontre, se possivel, matrizes reais P_{1} e P_{2} não-singulares e matrizes reais diagonais D_{1} e D_{2}, tais A=P_{1} \cdot D_{1} \cdot P_{1}^{-1} e B=P_{2} \cdot D_{2} \cdot P_{2}^{-1}. Os autovetores de A (respectivamente B ) formam uma base de \mathbb{F}
(c) Você pode descrever geometricamente como a transformações definidas pelas matrizes A e B agem sobre os vetores de \mathbb{R}^{3}?
e pede:
a) autovalores e autovetores reais;
b) se existe diagonalização real A=P_{1}D_{1}P_{1}^{-1}, B=P_{2}D_{2}P_{2}^{-1};
c) interpretação geométrica em \mathbb{R}^{3}.
Como há apenas um autovetor real, não há base de três autovetores reais. Logo não existe diagonalização real B=P_{2}D_{2}P_{2}^{-1} com D_{2} diagonal real.
Passo 8
Geometricamente, A atua estendendo/espelhando nas direções:
– na direção de (1,0,1) (autovalor 1), deixa intacto;
– na direção de (1,0,-1) (autovalor -1), faz reflexão;
– na direção de (0,1,0) (autovalor -4), reflete e estica por fator 4.
Passo 9
Geometricamente, B age assim:
– no eixo y (vetores (0,1,0)), dilata por 4;
– no plano xz, age como a matriz \begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}, ou seja, rotação de -90^\circ (sentido horário) sem escala.
Resposta
(a) Para A: autovalores \{1,-1,-4\} com autovetores reais (1,0,1), (1,0,-1), (0,1,0).
Para B: autovalor real 4 com autovetor (0,1,0); os outros \pm i não geram autovetores reais.
(b) A é diagonalizável em \mathbb{R}^{3} com
Para B não existe diagonalização real.
(c) A combina reflexões e escalamentos ao longo de três direções mutuamente ortogonais; B dilata o eixo y por 4 e rota o plano xz em -90^\circ.