Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -4 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right]
(a) Encontre os autovalores e os autovetores reais das matrizes A e B.
(b) Encontre, se possivel, matrizes reais P_{1} e P_{2} não-singulares e matrizes reais diagonais D_{1} e D_{2}, tais A=P_{1} \cdot D_{1} \cdot P_{1}^{-1} e B=P_{2} \cdot D_{2} \cdot P_{2}^{-1}. Os autovetores de A (respectivamente B ) formam uma base de \mathbb{F}
(c) Você pode descrever geometricamente como a transformações definidas pelas matrizes A e B agem sobre os vetores de \mathbb{R}^{3}?

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -4 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede:
a) autovalores e autovetores reais;
b) se existe diagonalização real A=P_{1}D_{1}P_{1}^{-1}, B=P_{2}D_{2}P_{2}^{-1};
c) interpretação geométrica em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Calcular o polinômio característico de A.
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & -4-\lambda & 0\\\\ 1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} =-\lambda\bigl((-4-\lambda)(-\lambda)\bigr)+1\bigl(0-(-4-\lambda)\bigr)
=-\lambda(\lambda^{2}+4\lambda)+(\lambda+4) =-\lambda^{3}-4\lambda^{2}+\lambda+4
Logo o polinômio é
-\lambda^{3}-4\lambda^{2}+\lambda+4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda^{3}+4\lambda^{2}-\lambda-4=0.

Passo 3

Fatorando \lambda^{3}+4\lambda^{2}-\lambda-4=(\lambda+4)(\lambda^{2}-1)=(\lambda+4)(\lambda-1)(\lambda+1).
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=1,\quad \lambda_{2}=-1,\quad \lambda_{3}=-4.

Passo 4

Encontrar autovetores de A\). Para \(\lambda=1\): \[(A-I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} -x+z=0,\\\\ -5y=0,\\\ x-z=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; v_{1}=(1,0,1).
Para \lambda=-1\]: \[(A+I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} x+z=0,\\\\ -3y=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; v_{2}=(1,0,-1).\] Para \(\lambda=-4:
(A+4I)v=0\;\Longrightarrow\; \begin{cases} 4x+z=0,\\\\ -x-4z=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; x=z=0,\;y\text{ livre} \;\Longrightarrow\; v_{3}=(0,1,0).

Passo 5

Como temos três autovetores linearmente independentes, A é diagonalizável em \mathbb{R}^{3}.
Escolhendo P_{1}=[v_{1}\;v_{2}\;v_{3}] e
D_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,-4)
temos
A=P_{1}D_{1}P_{1}^{-1}.

Passo 6

Para B, o polinômio característico é
\det(B-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 1\\\\ 0 & 4-\lambda & 0\\\\ -1 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} =4\lambda^{2}-\lambda^{3}+4-\lambda
=-\bigl(\lambda^{3}-4\lambda^{2}+\lambda-4\bigr) =-\,( \lambda-4)(\lambda^{2}+1 ).
Logo os autovalores são
\lambda=4,\quad \lambda=\pm i.

Passo 7

O único autovalor real é \lambda=4. Resolvendo (B-4I)v=0 vem
-4x+z=0,\;-x-4z=0\;\Longrightarrow\;x=z=0,\;y\text{ livre} \;\Longrightarrow\;v=(0,1,0).
Como há apenas um autovetor real, não há base de três autovetores reais. Logo não existe diagonalização real B=P_{2}D_{2}P_{2}^{-1} com D_{2} diagonal real.

Passo 8

Geometricamente, A atua estendendo/espelhando nas direções:
– na direção de (1,0,1) (autovalor 1), deixa intacto;
– na direção de (1,0,-1) (autovalor -1), faz reflexão;
– na direção de (0,1,0) (autovalor -4), reflete e estica por fator 4.

Passo 9

Geometricamente, B age assim:
– no eixo y (vetores (0,1,0)), dilata por 4;
– no plano xz, age como a matriz \begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}, ou seja, rotação de -90^\circ (sentido horário) sem escala.

Resposta

(a) Para A: autovalores \{1,-1,-4\} com autovetores reais (1,0,1), (1,0,-1), (0,1,0).
Para B: autovalor real 4 com autovetor (0,1,0); os outros \pm i não geram autovetores reais.
(b) A é diagonalizável em \mathbb{R}^{3} com
P_{1}=\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&0&1\\\ 1&-1&0\end{pmatrix}, \quad D_{1}=\operatorname{diag}(1,-1,-4).
Para B não existe diagonalização real.
(c) A combina reflexões e escalamentos ao longo de três direções mutuamente ortogonais; B dilata o eixo y por 4 e rota o plano xz em -90^\circ.

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