Questão 3: Considere a matriz A do sistema da questão anterior, calcule e^{A};
Questão 4: Considere a recorrência de Fibonacci,
f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}, \quad f_{0}=0, f_{1}=1 .
Mostre que o termo geral dessa recorrência é dado por
f_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} .

Passo 1

O enunciado traz duas tarefas:
  1. Calcular e^{A}, onde A é “a matriz do sistema da questão anterior”.
  2. Mostrar que a solução da recorrência de Fibonacci
f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2},\quad f_{0}=0,\;f_{1}=1
é dada pela fórmula fechada de Binet.
Para resolver a parte de Fibonacci vamos precisar do método da equação característica de recorrências lineares de segunda ordem.

Passo 2

Perceba que a matriz A mencionada na questão 3 não foi fornecida no enunciado atual (ela estava na “questão anterior”, que não temos). Sem conhecer explicitamente A, não há como calcular e^{A}.

Passo 3

Agora focamos na parte da recorrência de Fibonacci. Assumimos uma solução do tipo
f_{n}=r^{n}.
Substituindo na recorrência f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2} obtemos a equação característica:
r^{n}=r^{n-1}+r^{n-2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-r-1=0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
r^{2}-r-1=0
pelas fórmulas de Bhaskara, temos
r = \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} =\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.
Chamemos
r_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \quad r_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

A solução geral da recorrência é uma combinação linear dessas raízes:
f_{n}=C\,r_{1}^{n}+D\,r_{2}^{n},
onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais f_{0}=0 e f_{1}=1.

Passo 6

Usando f_{0}=0:
0 = C\,r_{1}^{0}+D\,r_{2}^{0} = C + D \quad\Longrightarrow\quad D=-C.
Usando f_{1}=1:
1 = C\,r_{1}+D\,r_{2} = C\,r_{1} - C\,r_{2} = C\,(r_{1}-r_{2}).
Mas r_{1}-r_{2}=\sqrt{5}, logo
C = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad D = -\frac{1}{\sqrt{5}}.
Substituindo em f_{n}=C\,r_{1}^{n}+D\,r_{2}^{n} obtemos a fórmula de Binet.

Resposta

Questão 3: Não é possível calcular e^{A} pois a matriz A não foi fornecida.
Questão 4:
f_{n} =\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{n} -\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{n}.

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