Questão 3: Considere a matriz
do sistema da questão anterior, calcule
;
Questão 4: Considere a recorrência de Fibonacci,
Mostre que o termo geral dessa recorrência é dado por
Questão 4: Considere a recorrência de Fibonacci,
Passo 1
O enunciado traz duas tarefas:
- Calcular
, onde é “a matriz do sistema da questão anterior”. - Mostrar que a solução da recorrência de Fibonacci
é dada pela fórmula fechada de Binet.
Para resolver a parte de Fibonacci vamos precisar do método da equação característica de recorrências lineares de segunda ordem.
Passo 2
Perceba que a matriz
mencionada na questão 3 não foi fornecida no enunciado atual (ela estava na “questão anterior”, que não temos). Sem conhecer explicitamente
, não há como calcular
.
Passo 3
Agora focamos na parte da recorrência de Fibonacci. Assumimos uma solução do tipo
Substituindo na recorrência
obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
pelas fórmulas de Bhaskara, temos
Chamemos
Passo 5
A solução geral da recorrência é uma combinação linear dessas raízes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais
e
.
Passo 6
Usando
:
Usando
:
Mas
, logo
Substituindo em
obtemos a fórmula de Binet.
Resposta
Questão 3: Não é possível calcular
pois a matriz
não foi fornecida.
Questão 4: