Exercício 18.0.2. Determine os autovalores e autovetores das seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
e pede os autovalores e autovetores. Vamos usar o cálculo do polinômio característico e resolver (A-\lambda I)v=0.

Passo 2

O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\\\ 0 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)\,(1-\lambda) = (1-\lambda)^2.

Passo 3

Da equação (1-\lambda)^2=0 concluímos que
\lambda = 1
com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 4

Para encontrar os autovetores, resolvemos
(A - I)v = \begin{pmatrix}0 & 2 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso impõe 2y=0, logo y=0, enquanto x fica livre.

Passo 5

Portanto, o espaço próprio associado a \lambda=1 é
\{(x,0) : x\neq0\},
isto é, gerado por
\begin{pmatrix}1 \\\\ 0\end{pmatrix}.
A multiplicidade geométrica é 1.

Resposta

Autovalor: \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2, geométrica 1).
Autovetores: todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1 \\\\ 0\end{pmatrix}.

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