Considere as matrizes
A_{1}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 2 \\\\ 2 & 0 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad A_{2}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3 \\\\ -1 & 2 & -1 \end{array}\right]
a) Encontre os autovalores reais e os autoespaços das matrizes A_{1} e A_{2}. b) Encontre, se possível, matrizes reais P_{1} e P_{2} não-singulares tais que P_{1}^{-1} A_{1} P_{1} e P_{2}^{-1} A_{2} P_{2} são diagonais. Os autovetores de A_{1} (respectivamente A_{2} ) formam uma base de \mathbb{R}^{3} ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular autovalores reais e autoespaços de A_{1} e A_{2}, e depois decidir se são diagonalizáveis por uma base de autovetores de \mathbb{R}^{2} (para A_{1}) e de \mathbb{R}^{3} (para A_{2}). Vamos usar as definições de polinômio característico, resolver \det(A-\lambda I)=0, achar os autovetores resolvendo (A-\lambda I)x=0 e, se possível, montar P^{-1}AP=D diagonal.

Passo 2

Para A_{1}=\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\end{pmatrix} o polinômio característico é
\det\bigl(A_{1}-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}-\lambda&2\\\ 2&-\lambda\end{pmatrix} =\lambda^{2}-4
Logo \lambda^{2}-4=0 \lambda_{1}=2 e \lambda_{2}=-2.
Para \lambda_{1}=2:
(A_{1}-2I)x =\begin{pmatrix}-2&2\\\ 2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Rightarrow\;-2x+2y=0\;\Rightarrow\;y=x,
logo E_{2}=\Span\{(1,1)\}.
Para \lambda_{2}=-2:
(A_{1}+2I)x =\begin{pmatrix}2&2\\\ 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0 \;\Rightarrow\;2x+2y=0\;\Rightarrow\;y=-x,
logo E_{-2}=\Span\{(1,-1)\}.

Passo 3

Como há dois autovalores distintos em \mathbb{R} e cada autoespaço tem dimensão 1, A_{1} é diagonalizável. Basta escolher
P_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}, \quad D_{1}=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&-2\end{pmatrix},
em que a primeira coluna de P_{1} é o autovetor de \lambda=2 e a segunda o de \lambda=-2. Como \det P_{1}=-2\neq0, esses dois autovetores formam base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

Para
A_{2}=\begin{pmatrix}-1&3&0\\\ 1&0&3\\\ -1&2&-1\end{pmatrix}
o polinômio característico é
\det(A_{2}-\lambda I) =-\lambda(\lambda^{2}+2\lambda-8) =-\lambda(\lambda-2)(\lambda+4),
de onde \lambda=0,2,-4, todos reais e distintos.

Passo 5

Calculando cada autoespaço:
1. \lambda=0:
(A_{2}-0I)x=0 dá o sistema
-x+3y=0,\;x+3z=0, de onde x=3y, z=-y.
Logo E_{0}=\Span\{(3,1,-1)\}.
2. \lambda=2:
(A_{2}-2I)x=0
-3x+3y=0,\;x-2y+3z=0, de onde y=x, z=\tfrac13x.
Logo E_{2}=\Span\{(1,1,\tfrac13)\}.
3. \lambda=-4:
(A_{2}+4I)x=0
3x+3y=0,\;x+4y+3z=0, de onde y=-x, z=x.
Logo E_{-4}=\Span\{(1,-1,1)\}.
Cada autoespaço tem dimensão 1 e há três autovalores distintos, logo A_{2} também é diagonalizável por vetores reais.

Passo 6

Tomando como colunas de P_{2} os vetores (3,1,-1), (1,1,\tfrac{1}{3}), (1,-1,1) correspondentes a \lambda=0,2,-4, obtemos
P_{2}=\begin{pmatrix} 3&1&1\\\\ 1&1&-1\\\\ -1&\tfrac{1}{3}&1 \end{pmatrix}, \quad D_{2}=\begin{pmatrix} 0&0&0\\\\ 0&2&0\\\\ 0&0&-4 \end{pmatrix},
com \det P_{2}\neq 0. Assim os três autovetores formam base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

a) Para A_{1}:
\lambda=2,\quad E_{2}=\Span\{(1,1)\}; \quad \lambda=-2,\quad E_{-2}=\Span\{(1,-1)\}.
Para A_{2}:
\lambda=0,\;E_{0}=\Span\{(3,1,-1)\};\quad \lambda=2,\;E_{2}=\Span\{(1,1,\tfrac13)\};\quad \lambda=-4,\;E_{-4}=\Span\{(1,-1,1)\}.
b) Pode-se tomar
P_{1}=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix},\quad P_{2}=\begin{pmatrix} 3&1&1\\\\ 1&1&-1\\\\ -1&\tfrac13&1 \end{pmatrix},
de modo que P_{1}^{-1}A_{1}P_{1}=\diag(2,-2) e P_{2}^{-1}A_{2}P_{2}=\diag(0,2,-4).
Os autovetores de A_{1} formam base de \mathbb{R}^{2} e os de A_{2} formam base de \mathbb{R}^{3}.

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