a) Encontre os autovalores reais e os autoespaços das matrizes A_{1} e A_{2}. b) Encontre, se possível, matrizes reais P_{1} e P_{2} não-singulares tais que P_{1}^{-1} A_{1} P_{1} e P_{2}^{-1} A_{2} P_{2} são diagonais. Os autovetores de A_{1} (respectivamente A_{2} ) formam uma base de \mathbb{R}^{3} ?
Passo 1
O enunciado pede para calcular autovalores reais e autoespaços de A_{1} e A_{2}, e depois decidir se são diagonalizáveis por uma base de autovetores de \mathbb{R}^{2} (para A_{1}) e de \mathbb{R}^{3} (para A_{2}). Vamos usar as definições de polinômio característico, resolver \det(A-\lambda I)=0, achar os autovetores resolvendo (A-\lambda I)x=0 e, se possível, montar P^{-1}AP=D diagonal.
Passo 2
Para A_{1}=\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\end{pmatrix} o polinômio característico é
em que a primeira coluna de P_{1} é o autovetor de \lambda=2 e a segunda o de \lambda=-2. Como \det P_{1}=-2\neq0, esses dois autovetores formam base de \mathbb{R}^{2}.
de modo que P_{1}^{-1}A_{1}P_{1}=\diag(2,-2) e P_{2}^{-1}A_{2}P_{2}=\diag(0,2,-4).
Os autovetores de A_{1} formam base de \mathbb{R}^{2} e os de A_{2} formam base de \mathbb{R}^{3}.