Considere o conjunto de vetores X=\{(1,0,1),(2,-1,0),(1,1,1)\}.
(a) Prove que o conjunto X é linearmente independente e uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} a part da base X.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de vetores X = \{(1,0,1),\,(2,-1,0),\,(1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^3 e pede (a) provar que X é linearmente independente e, por ter três vetores em \mathbb{R}^3, é então uma base; (b) usar o processo de Gram–Schmidt em X para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Para mostrar que X\) é linearmente independente, consideremos a combinação \[a\,(1,0,1) \;+\; b\,(2,-1,0)\;+\; c\,(1,1,1)\;=\;(0,0,0).
Isto gera o sistema
\begin{cases} a + 2b + c = 0,\\\ \;-\!b + c = 0,\\\ a + c = 0. \end{cases}
Da segunda equação segue c=b\]. Da terceira segue \(a=-c=-b. Substituindo na primeira:
(-b) + 2b + b = 2b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b=0,
logo a=0 e c=0. Assim só há a combinação trivial, e X é linearmente independente.

Passo 3

Como \dim(\mathbb{R}^3)=3 e X tem três vetores independentes, X é uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt a
v_1 = (1,0,1),\quad v_2 = (2,-1,0),\quad v_3 = (1,1,1).
Definimos
u_1 = v_1,\quad e_1 = \frac{u_1}{\lVert u_1\rVert} =\frac{1}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}\,(1,0,1) =\frac{1}{\sqrt2}\,(1,0,1).

Passo 5

Calculamos
\langle v_2,u_1\rangle = 2,
\langle u_1,u_1\rangle = 2,
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u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 = (2,-1,0) - 1\,(1,0,1) = (1,-1,-1).
Então
e_2 = \frac{u_2}{\lVert u_2\rVert} = \frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}}\,(1,-1,-1) = \frac{1}{\sqrt3}\,(1,-1,-1).

Passo 6

Para u_3 temos
\langle v_3,u_1\rangle=2,\;\langle u_1,u_1\rangle=2,
\langle v_3,u_2\rangle=1-1-1=-1,\;\langle u_2,u_2\rangle=3,
então
u_3 = v_3 - \frac{\langle v_3,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}\,u_1 - \frac{\langle v_3,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}\,u_2 = (1,1,1) - (1,0,1) - \Bigl(-\tfrac13\Bigr)(1,-1,-1) = \bigl(\tfrac13,\tfrac23,-\tfrac13\bigr).
O comprimento é
\lVert u_3\rVert = \sqrt{\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}+\tfrac{1}{9}} = \sqrt{\tfrac23},
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e_3 = \frac{u_3}{\lVert u_3\rVert} = \frac{1}{\sqrt{2/3}}\, \bigl(\tfrac13,\tfrac23,-\tfrac13\bigr) = \frac{1}{\sqrt6}\,(1,2,-1).

Resposta

A base ortonormal obtida é
\Bigl\{ \frac{1}{\sqrt2}(\,1,0,1),\; \frac{1}{\sqrt3}(\,1,-1,-1),\; \frac{1}{\sqrt6}(\,1,2,-1) \Bigr\}.

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