Considere o conjunto de vetores X=\{(1,0,1),(2,-1,0),(1,1,1)\}.
(a) Prove que o conjunto X é linearmente independente e uma base de \mathbb{R}^{3}.
(b) Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3} a part da base X.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de vetores X = \{(1,0,1),\,(2,-1,0),\,(1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^3 e pede (a) provar que X é linearmente independente e, por ter três vetores em \mathbb{R}^3, é então uma base; (b) usar o processo de Gram–Schmidt em X para obter uma base ortonormal de \mathbb{R}^3.
Passo 2
Para mostrar que X\) é linearmente independente, consideremos a combinação
\[a\,(1,0,1) \;+\; b\,(2,-1,0)\;+\; c\,(1,1,1)\;=\;(0,0,0).
Isto gera o sistema
\begin{cases} a + 2b + c = 0,\\\ \;-\!b + c = 0,\\\ a + c = 0. \end{cases}
Da segunda equação segue c=b\]. Da terceira segue \(a=-c=-b. Substituindo na primeira: