(9 pontos) Considere o plano \pi: x+y+z=1 e a reta r(t)=(1+t, 1+2 t, 1-t).
(a) Determine o ponto P, interseção da reta r com o plano \pi;
(b) Determine a equação do plano \pi_{1}, que contém a reta r e é perpendicular ao plano \pi
(c) Determine a equação da reta s, contida no plano \pi_{1} e que intercepta r ortogonalmente no ponto P.

Passo 1

Resumindo, temos o plano
\pi:\;x+y+z=1
e a reta
r(t)=(1+t,\;1+2t,\;1-t).
Precisamos encontrar:
(a) o ponto de interseção P de r com \pi;
(b) a equação do plano \pi_{1} que contém r e é perpendicular a \pi;
(c) a reta s\subset\pi_{1} que intercepta r ortogonalmente em P.

Passo 2

Para achar P impomos que r(t) satisfaça a equação de \pi. Substituindo
x=1+t,\quad y=1+2t,\quad z=1-t
em x+y+z=1 vem
(1+t)+(1+2t)+(1-t)=1 \;\Longrightarrow\; 3+2t=1 \;\Longrightarrow\; t=-1.
Logo
P=r(-1)=(0,\,-1,\,2).

Passo 3

Para determinar \pi_{1} notamos que “ \pi_{1}\perp\pi” implica que os vetores normais são ortogonais. O normal de \pi é
n=(1,1,1),
e a direção de r é
v=(1,2,-1).
Como \pi_{1} contém r, seu normal n_{1} deve satisfazer
n_{1}\perp n \quad\text{e}\quad n_{1}\perp v.
Logo podemos tomar
n_{1}=n\times v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&1\\\\ 1&2&-1 \end{vmatrix} =(-3,2,1).
A equação de \pi_{1} que passa por P=(0,-1,2) é
-3\,(x-0)+2\,(y+1)+1\,(z-2)=0 \;\Longleftrightarrow\; -3x+2y+z=0.

Passo 4

Agora, a reta s\subset\pi_{1} deve ser ortogonal a r em P. Se sua direção é u, temos
u\perp v \quad\text{e}\quad u\perp n_{1}.
Logo
u = n_{1}\times v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ -3&2&1\\\\ 1&2&-1 \end{vmatrix} =(4,2,8)\sim(2,1,4).
Assim a forma paramétrica de s em P é
s(\tau)=(0,-1,2)+\tau\,(2,1,4).

Resposta

P=(0,-1,2)
\pi_{1}:\,-3x+2y+z=0
s:\;(x,y,z)=(0,-1,2)+\tau(2,1,4)

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