Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right] \quad \text { o } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]
(a) Encontre os autovalores e os autovetores reais das matrizes A e B.
(b) Encontre, se possivel, matrizes reais P_{1} e P_{2} não-singulares e matrizes reais diagonais D_{1} e D_{2}, tais que A=P_{1} \cdot D_{1} \cdot P_{1}^{-1} e B=P_{2} \cdot D_{2} \cdot P_{2}^{-1}. Os autovetores de A (respectivamente B ) formam uma base de \mathbb{R}^{3} ?
(c) Você pode descrever geometricamente como a transformaçöes definidas pelas matrizes A e B agem sobre \mathbb{R}^{3} ?

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes reais em \mathbb{R}^{3}:
A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Precisamos encontrar autovalores e autovetores reais de A e B, verificar se cada uma é diagonalizável em base real e, finalmente, dar interpretação geométrica das transformações associadas.

Passo 2

Vamos começar por A. O polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = (-2 - \lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ -1 & -\lambda\end{pmatrix} = (-2 - \lambda)(\lambda^2 + 1).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = -2,\quad \lambda_{2,3} = \pm i.

Passo 3

Para \lambda_1 = -2 resolvemos
(A + 2I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = 0.
Dessas equações vem x_2 = x_3 = 0 e x_1 livre. Um autovetor real de A é
v_{-2} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Os outros dois autovalores são complexos, portanto não geram autovetores reais.

Passo 4

Como A só tem um autovetor real não-nulo, suas três direções próprias não formam base em \mathbb{R}^3. Logo não existe matriz real P_1 não-singular que diagonalize A sobre \mathbb{R}. Em vez disso, sua forma real de Jordan é bloco -2 e um bloco de rotação na sub-variedade \mathrm{span}\{e_2,e_3\}.

Passo 5

Agora B. Seu polinômio característico é
\det(B - \lambda I) = (-2 - \lambda)\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix} = (-2 - \lambda)(\lambda^2 - 1).
Os autovalores são todos reais e distintos:
\lambda_1 = -2,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = -1.

Passo 6

Calculamos os autovetores reais de B:
Para \lambda_1 = -2:
(B + 2I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} x=0 \;\Longrightarrow\; v_{-2} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para \lambda_2 = 1:
(B - I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} x=0 \;\Longrightarrow\; v_{1} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_3 = -1:
(B + I)x = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} x=0 \;\Longrightarrow\; v_{-1} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 7

Como B tem três autovalores reais distintos e três autovetores linearmente independentes,
ele é diagonalizável sobre \mathbb{R}. Podemos tomar
P_2 = \bigl[v_{-2}\;\;v_{1}\;\;v_{-1}\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad D_2 = \operatorname{diag}(-2,\,1,\,-1),
de modo que B = P_2 D_2 P_2^{-1}. Os autovetores de B formam base de \mathbb{R}^3.

Passo 8

Geometricamente:
  • A atua como escala -2 em e_1 (inversão e alongamento por 2) e como rotação de -90^\circ no plano \mathrm{span}\{e_2,e_3\}.
  • B atua como escala -2 em e_1 e no plano \mathrm{span}\{e_2,e_3\} faz reflexão pela reta y = x (veta o vetor (0,1,1) e inverte (0,1,-1)).

Resposta

(a) Autovalores e autovetores reais:
A:
\lambda=-2, autovetor \bigl(1,0,0\bigr)^{T}. Os outros autovalores são \pm i, sem autovetores reais.
B:
\lambda=-2, autovetor \bigl(1,0,0\bigr)^{T};
\lambda=1, autovetor \bigl(0,1,1\bigr)^{T};
\lambda=-1, autovetor \bigl(0,1,-1\bigr)^{T}.
(b) A não é diagonalizável em \mathbb{R} (só um autovetor real).
B é diagonalizável: B = P_{2} D_{2} P_{2}^{-1} com
P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad D_2 = \operatorname{diag}(-2,1,-1).
Os autovetores de B formam base de \mathbb{R}^3.
(c) A escala o eixo x por -2 e gira o plano yz em -90^\circ.
B escala o eixo x por -2 e reflete o plano yz na reta y=x.

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