(a) Encontre os autovalores e os autovetores reais das matrizes A e B.
(b) Encontre, se possivel, matrizes reais P_{1} e P_{2} não-singulares e matrizes reais diagonais D_{1} e D_{2}, tais que A=P_{1} \cdot D_{1} \cdot P_{1}^{-1} e B=P_{2} \cdot D_{2} \cdot P_{2}^{-1}. Os autovetores de A (respectivamente B ) formam uma base de \mathbb{R}^{3} ?
(c) Você pode descrever geometricamente como a transformaçöes definidas pelas matrizes A e B agem sobre \mathbb{R}^{3} ?
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes reais em \mathbb{R}^{3}:
Precisamos encontrar autovalores e autovetores reais de A e B, verificar se cada uma é diagonalizável em base real e, finalmente, dar interpretação geométrica das transformações associadas.
Dessas equações vem x_2 = x_3 = 0 e x_1 livre. Um autovetor real de A é
v_{-2} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Os outros dois autovalores são complexos, portanto não geram autovetores reais.
Passo 4
Como A só tem um autovetor real não-nulo, suas três direções próprias não formam base em \mathbb{R}^3. Logo não existe matriz real P_1 não-singular que diagonalize A sobre \mathbb{R}. Em vez disso, sua forma real de Jordan é bloco -2 e um bloco de rotação na sub-variedade \mathrm{span}\{e_2,e_3\}.