Questão 1) Determine as coordenadas do ponto P na reta r que é equidistante dos pontos A(0,1,0) e B(2,0,-1)
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+t \\\ y=2-t \\\ z=3+2 t \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para achar o ponto P sobre a reta r cuja distância a A(0,1,0) seja igual à distância a B(2,0,-1). O conteúdo envolvido é coordenadas de ponto em reta paramétrica no espaço, cálculo de distância em \mathbb{R}^3 e resolução de equação algébrica para o parâmetro.

Passo 2

Um ponto genérico P em r está dado por
P(t) = (x,y,z) = (1+t,\;2-t,\;3+2t).

Passo 3

Calculamos o quadrado da distância de P(t) a A:
\|PA\|^2 = (1+t - 0)^2 + (2-t - 1)^2 + (3+2t - 0)^2 = (1+t)^2 + (1 - t)^2 + (3+2t)^2 = 6t^2 + 12t + 11.

Passo 4

Calculamos o quadrado da distância de P(t) a B:
\|PB\|^2 = (1+t - 2)^2 + (2-t - 0)^2 + (3+2t + 1)^2 = (t-1)^2 + (2 - t)^2 + (4+2t)^2 = 6t^2 + 10t + 21.

Passo 5

Impondo \|PA\|^2 = \|PB\|^2 resulta em
6t^2 + 12t + 11 \;=\; 6t^2 + 10t + 21 \quad\Longrightarrow\quad 2t = 10 \quad\Longrightarrow\quad t = 5.

Passo 6

Substituindo t=5 em P(t) obtemos
P = (1+5,\;2-5,\;3+2\cdot5) = (6,\,-3,\;13).

Resposta

As coordenadas do ponto P são (6,-3,13).

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